Korte uitwerkingen tentamen Statistiek 1  voor ST 16 december 2003

Elke opgave 10 punten; bij opgaven 1 , 2 en 5: 5 punten per onderdeel; bij opgave 4 2 punten per onderdeel

1. a)  In Statgraphics kiezen we Describe -> Numeric Data -> One-Variable Analysis en dan de optie Hypothesis Tests. Aangezien we een overschrijding willen toetsen, dienen we een eenzijdig alternatief te kiezen (via rechtermuisknop -> Pane Options; bij tweezijdige toets: -2 pt). Toetsen via een betrouwbaarheidsinterval mag ook, maar ook hier –2 pt voor een tweezijdig betrouwbaarheidsinterval.

b) Er moet in ieder geval gekeken worden naar een Box-and-Whisker plot (1 pt), normal probability plot (1pt), density trace (1 pt) of  toets op normaliteit ( Shapiro-Wilks) (1 pt). (max 2 pt). Verder dient men te kijken naar Describe -> Numeric Data -> Outlier Identification met name de toets van Dixon (1 pt). Conclusie: er is  1 uitbijter aan de linkerkant, normaliteit dient verworpen te worden, dus de toets bij a) levert mogelijk de verkeerde conclusie: 1 pt. Toetsen zonder deze uitbijter verandert de conclusie van de toets (1 pt): de wettelijke

2. a) 1 pt voor het omschrijven als V = mRT/p.. We berekenen eerst de variantie van V via de spreidingsvoortplantingswet: 
	
Dus 

b) Uit a) blijkt dat zowel de variantie van druk als de variantie van temperatuur een lineaire bijdrage hebben op de variantie van volume. (1 pt) Het gaat dus om de grootte van de coefficiënt. Bij druk is die , terwijl die voor temperatuur bedraagt (3 pt). Het is dus beter om een nieuwe drukmeter te kopen (1 pt).

3. Opmerken dat lineair model niet past via grafiek waarnemingen of residuenanalyse: 2 pt.
   Volledige analyse van een (niet noodzakelijk juist) model: significantie model: 1 pt, normaliteit residuen: 1 pt voor grafisch onderzoek, 1 pt voor toets (Shapiro-Wilks), invloedrijke punten + uitzonderlijke residuen: 1 pt, algemene vorm residuen (gelijkheid van varianties): 1 pt, correlatie (Durbin-Watson): 1 pt.
Correcte identificatie model van de vorm Y = a X^b: 2 pt. Voor het model Y = a + b/X: 1 pt.

4.a)  Hier dient een meervoudige regressie toegepast te worden. 

Het model is significant omdat de p-waarde bij de Analysis of Variance praktisch 0 is. (1 pt)
Er wordt 67,7% van de variantie verklaard door het model

b) Alleen zuurgraad is significant, omdat het een p-waarde < 0,05 heeft. (1 pt)

De correlatiematrix laat zien dat er sterke lineaire verbanden bestaan tussen meerdere variabelen. Het verschijnsel dat er een bijna-lineair verband tussen onafhankelijke variabelen is heet multicollineariteit (1 pt)

c) Er dienen een of meerdere criteria aangegeven te worden wat het beste model is: beste Cp, beste (aangepaste) R^2 of laagste MSE (1 pt). Het beste model kan door Statgraphics berekend worden door Special -> Advanced Regression -> Regression Model Selection te kiezen. (2 pt). Indien alleen achterwaartse of voorwaartse regressie gebruikt wordt: (1 pt). 

d) Volledige analyse van een (niet noodzakelijk juist) model: significantie model: 1/2 pt (er moet opgemerkt worden dat R^2 laag is), normaliteit residuen: 1, invloedrijke punten + uitzonderlijke residuen: 1 pt, correlatie (Durbin-Watson): 1/2 pt.

5) a) (1 pt), dus 1/v(x) is lineair model met onafhankelijke variabele 1/x met  parameters (intercept ) (1/2 pt) en (richtingscoëfficiënt). (1/2 pt)
b) Er moet een lineaire regressie uitgevoerd worden met de parameters en variabelen van a). Mogelijke correcte oorzaken zijn uitzonderlijke residu (1 pt) of niet-normaliteit via normal probability plot (2pt). Maximaal 2 punten voor deze opgave.
c) is horizontale asymptoot, dus te halen uit waarden voor v als x groot is, d.w.z. een goede startwaarde is 200. Verder volgt door invullen dat (1 pt). De parameter /2 is dus die waarde van x waarvoor v ongeveer gelijk is 200/2=100, dus , dus een goede startwaarde voor is 0,1.(2 pt)
d) Analyse model: stopcriterium: 1/2 pt, meerdere beginwaarden geprobeerd: 1/2 pt, correcte analyse residuen: 1 pt, invloedrijke punten: 1 pt.