Het komende herfsttrimester (2001) zal Algebra 4 gaan over algebraische getaltheorie, elliptische krommen en cryptografie.
Ter sprake komen dingen als priemgetallen, congruenties, reciprociteit, algebraische getallen, karaktersommen, het aantal punten van een kromme over een eindig lichaam, elliptische krommen in karakteristiek 0 of over een eindig lichaam, kwadratische vormen, en toepassingen van al dit schoons.
Dit is een mooi klassiek onderwerp waar al honderden jaren aan gewerkt wordt, maar dat de afgelopen jaren nieuwe vertakkingen kreeg, aan de ene kant vanwege het bestaan van computers en aan de andere kant vanwege toepassingen in de cryptografie.
Tijd: woensdag 2e, 3e, 4e uur. Plaats: HG 6.09.
Ireland & Rosen, A classical introduction to modern number theory, Springer, Graduate Texts in Math. 84, 1990.
Silverman & Tate, Rational Points on Elliptic Curves, Springer, Undergraduate Texts in Math., 1992.
Tekst fragmenten: Approximatie. Diofantische vergelijkingen. Lichaamsuitbreidingen. Algebraische gehelen.
Opgaven: (i) los op: x4 + y4 = z2, (ii) los op: x2 - d y2 = 1 voor 0 < d < 11.
2001-09-12 tweede college. Behandeld: Opgave (i) van vorige keer (oneindige regressie). Euclidische ringen zijn hoofdideaalringen, en in hoofdideaalringen geldt unieke ontbinding in factoren tot op eenheden na. Z, Z[i], Z[w], Z[tau] zijn Euclidische ringen. De ring van gehelen van een algebraisch getallenlichaam kent niet altijd unieke ontbinding in factoren, maar voor idealen geldt deze wel. Bewijs wordt volgende keer afgemaakt. Het klassegetal.
Tekst fragmenten: Unieke factorisatie van ringelementen. Unieke factorisatie van idealen.
Opgave: los op: y3 = x2 + 2.
2001-09-19 derde college. Behandeld: Opgave (werk in Z[wortel(-2)]). Rest van bewijs van unieke factorisatie in idealen. Ontbinding van priemen uit Z in de ring van gehelen van een getallenlichaam, graad, vertakkingsindex. Discriminant. Structuur van de groep van eenheden. Minkowski theorie: roosterpunten in een convex lichaam.
Tekst fragmenten: Minkowski theorie.
Opgaven: (i) Laat zien dat een ideaal met norm m het getal m bevat. (Aanwijzing: bekend is N(AB)=N(A)N(B).) (ii) Los op: |2x-3y| = 1.
2001-09-26 vierde college. Behandeld: Opgaven. ((i) Voldoende te bewijzen p in P als D/P een lichaam van karakteristiek p is, en dat is zo. (ii) Bekijk dit modulo 8 en ontbind 3y-1 in factoren als y even is.) Elliptische krommen. Definitie, plaatjes. Optelling op elliptische krommen. Bezout. Projectieve coordinaten.
Tekst fragmenten: Projectieve coordinaten. Bezout (uses plot3.eps and plot4.eps).
Opgave: Kies de kromme x3-y2-2 = 0 met nul-element O=[0,1,0], en P=(3,5), Q=(3,-5). Bereken in de optelgroep van de kromme P+Q en 2P.
2001-10-03 vijfde college. Behandeld: Elliptische functies. Punten van eindige orde. Nagell-Lutz.
Tekst fragmenten: Elliptische functies.
Opgave: Vind alle gehele punten van eindige orde op de kromme y2=x3+17. Kun je nog meer gehele punten vinden?
Applets: Optelling op een gegeven kromme. Veelvouden op een gegeven kromme. Torsie.
2001-10-17 zesde college. Behandeld: Stelling van Mordell.
Opgave: De kromme y2=x3+2089 heeft 28 eindige gehele punten. Vind ze, en schrijf ze als gehele combinaties (in de optelgroep van de kromme) van 4 van die punten.
2001-10-24 zevende college. Behandeld: Diffie-Hellman sleuteluitwisseling. RSA openbare sleutel cryptosysteem. Priemtests. Sterk pseudopriemgetal. Waarschijnlijk priemgetal. Legendre symbool. Jacobi symbool. Kwadratische reciprociteit.
Tekst fragmenten: Kwadratische reciprociteit en priemtests.
Opgave Tel Fermat pseudopriemen in [10^7,10^7+100000] voor basis 2, voor bases 2 en 3, voor bases 2,3, en 5. Tel Euler pseudopriemen in datzelfde interval voor dezelfde basiskeuzen. Tel sterke pseudopriemen in datzelfde interval voor dezelfde basiskeuzen. Hoeveel echte priemgetallen zijn er in dat interval?
Antwoord Fermat: 6247, 6243, 6242; Euler: 6245, 6243, 6242; sterk pseudopriem: 6241, 6241, 6241; priem: 6241. Discussie: 10024561 is een Carmichael getal, vandaar dat Fermat nooit onder de 6242 komt. Dit getal valt wel af bij de Euler test met basis 11. In dit interval faalt de sterke pseudopriemtest met basis 2 geen enkele keer.
2001-10-31 achtste college. Behandeld: Factorisatiemethoden (delen, Pollard rho, Pollard p-1, Elliptische kromme methode, kwadratische zeef). Kubische en bikwadratische reciprociteit. Aantal punten op een elliptische kromme over een eindig lichaam.
Tekst fragmenten: Pollard rho. Hogere reciprociteit. Hasse-Weil, Gauss.
Opgave Bekijk de kromme y^2 = x(x-1)(x-3) modulo een groot aantal priemen p en bereken het aantal punten. Komt de verdeling van de aantallen overeen met het Sato-Tate vermoeden?
2001-11-07 negende en laatste college. Behandeld: Bewijzen van primaliteit. Karaktersommen. Gauss en Jacobi sommen. Bewijs voor kubische reciprociteit. Bewijs voor aantal punten op y^2 = x^3 + b.
Status van de ontvangen opgaven.
Afrekening Schrijf aeb@cwi.nl met het verzoek om een opgave. Lever de uitwerking in voor ik met pensioen ga.