Je hebt ook het lichaam van de rationale getallen (breuken) en van de complexe getallen (a+bi met a en b reele getallen, en i2 = –1). De 7 restklassen van de gehele getallen modulo 7 vormen een eindig lichaam (met bijvoorbeeld 1/4 = 2).
Het bekendste voorbeeld van een scheef lichaam dat geen lichaam is wordt gevormd door de quaternionen. De quaternionen zijn elementen a+bi+cj+dk met a, b, c, d reele getallen, en met de voor-de-hand liggende operaties, waarbij gegeven is dat i2 = j2 = k2 = –1, en ij=k, jk=i, ki=j, en ji=–k, kj=–i, ik=–j.
Ook bijvoorbeeld veeltermen vormen een ring. En matrices.
Ook bijvoorbeeld de permutaties van een verzameling vormen een groep.
De axioma's voor een groep zijn: (ab)c = a(bc) en aa–1 = a–1a = 1 en 1a = a1 = a voor alle a, b, c in de groep, waarbij in producten de * is weggelaten. De eerste regel heet de associatieve wet.
De groep heet abels of commutatief als bovendien ab = ba voor alle a, b. Bijvoorbeeld is de groep van machten van 2 abels, maar de groep van permutaties niet. Probeer op de verzameling {1,2,3}: eerste (1,2) uitvoeren en dan (1,3) levert (1,2)(1,3) = (1,2,3), maar andersom (1,3)(1,2) = (1,3,2).
De reden dat hier –1 en niet / gebruikt wordt is dat bij een niet-abelse groep het minder duidelijk is waar a/b voor staat omdat de elementen ab–1 en b–1a in het algemeen verschillend zijn. (Soms zie je wel a/b en b\a gebruikt worden.)
Die "gebruikelijke regels" bij een lichaam zeggen dat een lichaam F een abelse groep is met operaties 0, +, – (waarbij die – de eentallige – is, de operatie die a naar –a stuurt) en F\{0} een abelse groep met operaties 1, *, –1 (waarbij die –1 de eentallige operatie is die a naar 1/a stuurt). De tweetallige operaties – en / worden dan gedefinieerd door a–b = a+(–b) en a/b = ab–1. Tenslotte wordt voor een lichaam nog de distributieve wet a(b+c) = ab+ac geeist.
Die "gebruikelijke regels" bij een ring zeggen dat een ring R een abelse groep is met operaties 0, +, – (met eentallige –) en R\{0} een monoïde met operaties 1, * waarbij de distributieve wet geldt. De ring heet commutatief als de vermenigvuldiging commutatief is.
Dit voorbeeld is niet associatief (want 7–(5–3) ≠ (7–5)–3) en heeft geen tweezijdig neutraal element. Wel een eenzijdig (rechts) neutraal element: a–0 = a voor alle a.
In het Engels is een loop ("lus") een quasigroep met tweezijdig neutraal element.
Zo vormen de gehele machten van 4 een ondergroep van groep van machten van 2.
Let op, dit is subtiel: bij deze definitie blijkt dat het verschil uitmaakt welke operaties in je structuurdefinitie zitten. Kijk naar de verzameling {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Dit wordt een monoïde met de nultallige operatie 9 en de tweetallige operatie "min" die het minimum van twee getallen neemt. (Want: min(x,9) = min(9,x) = x als x ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, dus 9 is een tweezijdig neutraal element.) Elke deelverzameling van {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} is gesloten onder min, maar alleen de deelverzamelingen die 9 bevatten zijn ook gesloten onder "neem 9". Dus {0,1,2,3,4,5} met als operaties "neem 5" en min is een monoïde, maar niet een deelmonoïde van {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} met "neem 9" en min. Wel is {0,1,2,3,4,5} met min een deelhalfgroep van {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} met min. Dus het begrip "monoïde" gedraagt zich anders dan het begrip "halfgroep die een tweezijdig neutraal element heeft" als het gaat om het vinden van deelstructuren.
Op precies dezelfde manier, omdat we bij ringen 1 als operatie namen, moet een deelring dezelfde 1 hebben als de omvattende ring. (In de literatuur wordt vaak ook de 1 als operatie weggelaten, en dan heet ons begrip ring "ring met 1".)
Bijvoorbeeld vormen alle 3-vouden en alle 5-vouden twee ondergroepen van de optelgroep van de gehele getallen. De doorsnede is de ondergroep van alle 15-vouden.
Kijk naar de vermenigvuldiggroep M van niet-singuliere matrices van zekere orde met elementen in een of ander lichaam F. De bovendriehoeksmatrices in M en de onderdriehoeksmatrices in M vormen twee ondergroepen van M. Hun doorsnede is de ondergroep van alle niet-singuliere diagonaalmatrices.
Bijvoorbeeld is het deellichaam van het lichaam ℝ van de reele getallen voortgebracht door de lege verzameling het lichaam ℚ van de rationale getallen. En het deellichaam van ℝ voortgebracht door {√2} is {a+b√2 | a, b ∈ ℚ}.
Bijvoorbeeld is de optelgroep van de gehele getallen isomorf met de groep van machten van 2, met als afbeelding m ↦ 2m. (We moeten controleren dat de drie operaties van een groep bewaard blijven. Dat is de controle dat 20 = 1 en 2m+n = 2m.2n en 2–m = 1/2m.)
En de optelgroep van de gehele getallen is isomorf met de optelgroep van de even getallen, met als afbeelding m ↦ 2m.
Als S een structuur is, en T een deelstructuur (en deze symbolen zowel voor de structuur als voor de onderliggende verzameling gebruikt worden) dan is de afbeelding x ↦ x van T in S een homomorfisme.
Bijvoorbeeld is "det", de determinant, een homomorfisme van de vermenigvuldigmonoïde van matrices van gegeven grootte met elementen in een lichaam F naar de vermenigvuldigmonoïde van F. (Want: det I = 1 en det AB = det A . det B.)
Ook is "det" een homomorfisme van de vermenigvuldiggroep van niet-singuliere matrices van gegeven grootte met elementen in een lichaam F naar de vermenigvuldiggroep van F. (Want: det I = 1 en det AB = det A . det B en det A–1 = 1/det A.)
En "tr", het spoor (Engels "trace"), is een homomorfisme van de optelgroep van matrices van gegeven grootte met elementen in een lichaam F naar de optelgroep van F. (Want: tr O = 0 en tr (A+B) = tr A + tr B en tr (–A) = – tr A.)
Als f : S → T een homomorfisme is, en U is een deelstructuur van T, dan is f–1(U) een deelstructuur van S.
Bijvoorbeeld, als f : G → H een homomorfisme van groepen is, en 1 is het eenheidselement van H, dan is f–1(1) een ondergroep van G.
Als bijvoorbeeld G en H groepen zijn, dan is G × H een groep, met identiteit (1,1), vermenigvuldiging (g,h)(g',h') = (gg',hh'), en inverse (g,h)–1 = (g–1,h–1).