Een ring van rijtjes

Zij A een ring (met of zonder 1), en bekijk de collectie S van rijtjes a = (a₁, a₂, ... ) met elementen in A. Definieer een product * (de Dirichlet convolutie) op S door

(a*b)_n = ∑ {a_db_e | de=n} oftewel (a*b)_n = ∑_d|n a_db_n/d.

(Hier betekent "d|n" dat d een deler is van n.)

Dit product is associatief omdat (a*b*c)_n = ∑ {a_db_ec_f | def=n}. Definieer een som + op S door coordinaatsgewijs optellen: (a+b)_n = a_n+b_n. Dan is S een ring, laten we dit de rijtjesring van A noemen.

Eenheidselement

Neem nu aan dat A een 1-element heeft. Dan heeft S ook een 1-element, namelijk het rijtje e=(1,0,0,...).

Inverse

Als een rijtje a een inverse b heeft, dan is dus a*b=e en a₁b₁ = e₁ = 1, en a₁ moet inverteerbaar zijn. Maar dat is ook voldoende: als b_i is gedefinieerd voor i < n, dan volgt b_n uit (a*b)_n = e_n = 0 (voor n > 1), omdat (a*b)_n = a₁b_n + bekende termen, zodat er een unieke b_n is waarvoor dit 0 wordt.

Dus als A* de verzameling inverteerbare elementen van A is, dan is S* = {a ∈ S | a₁ ∈ A*} de verzameling inverteerbare elementen van S. Kennelijk is S* een groep.

Ondergroep

Het element 1 ∈ A is zeker inverteerbaar, en we vinden een ondergroep S₁ = { a ∈ S | a₁ = 1} van S*.

Leuke rijtjes

Laten we een rijtje a leuk noemen als a_mn = a_ma_n wanneer ggd(m,n) = 1. (De vakterm is multiplicatieve functie. Heel veel standaard getaltheoretische functies zijn multiplicatief in deze beperkte zin.)

Deze zelfde berekening laat zien dat als a*b = e en a ∈ T dan ook b ∈ T. (Namelijk: hij laat zien dat als b_i bekend is voor i < mn, en we nemen b_mn = b_mb_n dan wordt (a*b)_mn = e_mn. Maar dan was dit de juiste keuze voor b_mn.)

Dus T is een deelring van S, en T* = T ∩ S* is de verzameling van inverteerbare elementen van T, een ondergroep van S*, en T₁ = T ∩ S₁ is de verzameling van a ∈ T met a₁ = 1, weer een ondergroep van T* (en van S₁).

(Moet eigenlijk niet altijd a₁ = 1 als a ∈ T? De eis was a_mn = a_ma_n wanneer ggd(m,n) = 1. Voor m=1 staat hier dat a_n = a₁a_n en in het bijzonder a₁ = (a₁)², d.w.z. a₁ is een idempotent (een element e ≠ 0 heet idempotent als e² = e), en alle elementen van het rijtje liggen in a₁A. Als dus de ring A die van de gehele of reele of complexe getallen is, of willekeurig welke andere ring zonder nuldelers, dan is inderdaad a₁ = 1 als a ∈ T, tenzij a=0. Maar er zijn ook ringen met andere idempotenten. Bijvoorbeeld is in een matrixring een diagonaalmatrix met wat nullen en wat enen op de diagonaal altijd een idempotent.)

Toepassing

De Euler φ-functie, of Euler totient functie is de functie φ(n) met n positief geheel, gedefinieerd door ∑_d|n φ(d) = n. Kunnen we die expliciet uitrekenen?

Laat ζ het rijtje (1,1,1,...) zijn, en laat id het rijtje (1,2,3,...) zijn. Dan is de definitie van φ dat ζ*φ = id, en we willen φ oplossen. Kennelijk moeten we met ζ^-1 vermenigvuldigen. De rijtjes ζ en id liggen in T₁, en dus liggen μ = ζ^-1 en φ = μ*id ook in T₁. Dat betekent dat het voldoende is om μ en φ uit te rekenen voor een priemmacht p^e. Nu is μ(1) = 1 en ∑_d|n μ(d) = 0 als n > 1, dus μ(p) = –1 als p priem is, en μ(p^e) = 0 voor e > 1. En φ(1)=1 en dus φ(p^e) = (μ*id)_p^e = p^e–p^e–1 voor e > 0.

Dat geeft φ. Bijvoorbeeld is φ(24) = φ(3)φ(8) = 2.4 = 8.

Toepassingen van φ

De waarde φ(n) is het aantal getallen m kleiner of gelijk n zo dat g.g.d.(m,n) = 1.

Het is de grootte van de groep van inverteerbare elementen in de ring van restklassen modulo n. Bijvoorbeeld is φ(10) = φ(2)φ(5) = 1.4 = 4, en de restklassen 1, 3, 7, 9 zijn inverteerbaar modulo 10. Oftewel, {1,3,7,9} met als operatie vermenigvuldigen modulo 10 is een groep.

De waarde φ(n) is het aantal voortbrengers van de cyclische groep C_n van orde n. Meer algemeen heeft de cyclische groep C_n precies φ(d) elementen van orde d, voor elke deler d van n.

Toepassingen van μ

De functie μ heet de Möbius functie. Het oplossen van een functie als sommen gegeven zijn heet Möbius inversie. Er is een uitvoerige theorie van Möbius functies. Hier werd μ(n) voor n > 1 gedefinieerd door ∑_d|n μ(d) = 0, maar in plaats van te kijken naar de partieel geordende verzameling van delers van zeker getal kun je μ op een willekeurige eindige partieel geordende verzameling met kleinste element ⊥ definieren door μ(⊥) = 1, ∑_{y ≤ x} μ(y) = 0 als x ≠ ⊥.

Dirichlet reeksen

Een Dirichlet reeks voorstelling van een complexe functie f(s) is een schrijfwijze f(s) = ∑ c_n n^–s, waarbij n loopt over de positieve gehele getallen. Bijvoorbeeld is de Riemann zeta functie ζ(s) = ∑ n^–s (met alle coefficienten gelijk aan 1). De rijtjesvermenigvuldiging * hierboven correspondeert met de vermenigvuldiging van formele Dirichlet reeksen. (Formeel: de convergentie van sommen speelt geen rol.)

Natuurlijk kan hierboven A een veel algemenere ring zijn.