[Alles uit deze paragraaf komt later nog herhaaldelijk terug. Is de abstractiegraad hier te hoog dan komen later precies dezelfde definities in concrete gevallen weer terug.]
De algebra bestudeert heel speciale structuren, namelijk die van verzamelingen voorzien van een aantal bewerkingen, die aan nul of meer elementen van de verzameling weer een nieuw element van de verzameling toevoegen. Veel begrippen (zoals deelstructuur, product structuur, homomorfisme) laten zich op uniforme manier voor alle algebraïsche structuren definiëren. De universele algebra is de tak van wiskunde die zich met algemene algebraïsche structuren bezighoudt.
Een n-tallige bewerking op een verzameling voegt aan n elementen een nieuw element toe. Met andere woorden, een n-tallige bewerking op een verzameling X is een afbeelding f : Xn → X.
Voorbeelden De gewone optelling en aftrekking en vermenigvuldiging en deling zijn tweetallige bewerkingen. De afbeeldingen die aan x zijn tegengestelde –x of zijn inverse 1/x toevoegen zijn eentallige bewerkingen. Een nultallige bewerking noemt een constante, zoals 0 of 1. n-tallige bewerkingen met n > 2 komen niet zo veel voor. (Een voorbeeld van een n-tallige bewerking is de afbeelding die bij n gegeven punten het zwaartepunt vindt.)
Voorbeelden van algebraïsche structuren zijn groepen, ringen en lichamen. Definities volgen later.
Externe ingredienten Eigenlijk zou de algebra ook wel vectorruimten en Lie algebras willen bestuderen. Maar een vectorruimte V over een lichaam K heeft twee tweetallige bewerkingen: de optelling van vectoren, daar is niets mis mee, en de vermenigvuldiging van vectoren met een constante. Als we alleen afbeeldingen van Vn naar V toestaan dan kan de vermenigvuldiging met een constante alleen weergegeven worden door voor elke constante c in K een eentallige bewerking "vermenigvuldiging met c" te nemen. Meestal is dat onhandig, en werkt men met A-structuren X (voor een of andere vaste verzameling A), waarbij nu de bewerkingen ook ingredienten uit A kunnen gebruiken.
Zij gegeven een algebraïsche structuur (X, f1, f2, ...). Een deelstructuur is een algebraïsche structuur (Y, g1, g2, ...) waarbij Y een deelverzameling is van X en de gi beperkingen zijn van de fi tot Y. Met andere woorden: een deelstructuur is een deelverzameling die gesloten is voor alle bewerkingen.
(Binnen (X, f1, f2, ...) ligt (Y, g1, g2, ...) vast als we alleen Y geven. Dus hoewel een algebraïsche structuur formeel een verzameling samen met een aantal bewerkingen is, zullen we vaak slordig zijn en geen onderscheid maken tussen een deelstructuur en de deelverzameling die de drager is van die deelstructuur.)
Voorbeeld Bekijk de verzameling N = {0,1,2,...} van natuurlijke getallen met één tweetallige bewerking: de optelling. Nu is de verzameling {10,12,14,16,...} van even getallen groter dan 8 een deelstructuur: de som van twee grote even getallen is weer een groot even getal.
Opgaven
(i) De lege verzameling is een deelstructuur dan en slechts dan
als geen van de bewerkingen 0-tallig is.
(ii) Bekijk de structuur bestaande uit de verzameling N
van natuurlijke getallen met twee nultallige bewerkingen,
namelijk de constanten 2 en 7, en één tweetallige bewerking,
namelijk de optelling. Bepaal de kleinste deelstructuur.
Elke algebraïsche structuur (X, f, ...) heeft ten minste één deelstructuur, namelijk zichzelf. Als de deelverzamelingen Y en Z dragers van deelstructuren zijn, dan is ook hun doorsnede dat. (Want: f beeldt ingredienten uit Y weer binnen Y af, en ingredienten uit Z weer binnen Z, dus met ingedienten uit de doorsnede van Y en Z ligt het antwoord zowel binnen Y als binnen Z, kortom, in hun doorsnede.)
Hetzelfde geldt voor doorsneden van meer deelstructuren. Dit betekent dat als D een willekeurige deelverzameling van X is, we kunnen kijken naar <D>, de doorsnede van alle deelstructuren die D bevatten. Dit is de kleinste deelstructuur die D bevat, en heet de deelstructuur voortgebracht door D.
Voorbeeld De deelstructuur van (N,+) voortgebracht door {2} is de verzameling {2,4,6,8,...} van positieve even getallen.
Opgave Laat plus3 de eentallige bewerking x → x+3 op N zijn. Vind een eindige deelverzameling D van N met <D> = N in de structuur (N,plus3).
Een algebraïsche structuur (X, f, ...) heet eindig voortgebracht als er een eindige deelverzameling D van X is met <D> = X.
Voorbeeld De structuur (N,*) is niet eindig voortgebracht (want er zijn oneindig veel priemgetallen).
Opgave Verzin een algebraïsche structuur die eindig voortgebracht is met een deelstructuur die niet eindig voortgebracht is. (Aanwijzing: gebruik het voorbeeld en voeg een nieuw element toe.)
We zeggen dat twee algebraïsche structuren (X, f1, f2, ...) en (Y, g1, g2, ...) hetzelfde type hebben als fi en gi voor elke i dezelfde talligheid hebben.
Het Cartesisch product van twee algebraïsche structuren (X, f1, f2, ...) en (Y, g1, g2, ...) van hetzelfde type, is de algebraïsche structuur (Z, h1, h2, ...) waarbij Z = X × Y en als hi een m-tallige bewerking is, dan hi((x1,y1),...,(xm,ym)) = (fi(x1, ...,xm), gi(y1, ...ym)).
Voor de overzichtelijkheid zullen we bij algebraïsche structuren van hetzelfde type vaak dezelfde symbolen voor de operaties gebruiken zolang dat niet tot verwarring leidt. Met eentallige operatie – en tweetallige operaties + en * wordt nu het Cartesisch product van (X,–,+,*) en (Y,–,+,*) de structuur (X×Y,–,+,*) met –(x,y) = (–x,–y) en (x1,y1) + (x2,y2) = (x1 + x2, y1 + y2) en (x1,y1) * (x2,y2) = (x1 * x2, y1 * y2).
Voorbeeld Het Euclidische vlak R2 met vectoroptelling is het cartesisch product van (R,+) met zichzelf.
Opgave Geef een voorbeeld van een eindig voortgebrachte algebraïsche structuur zo dat het Cartesisch product van deze structuur met zichzelf niet eindig voortgebracht is.
Laten (X, f1, ...) en (Y, g1, ...) twee algebraïsche structuren van hetzelfde type zijn. Een homomorfisme van de een naar de ander is een afbeelding h : X → Y die alle bewerkingen bewaart: als fi een m-tallige bewerking is, dan is h(fi(x1,..., xm)) = gi(h(x1),..., h(xm)).
Dus een homomorfisme van (X,0,+) naar (Y,1,*) is een afbeelding h : X → Y met h(0) = 1 en h(u+v) = h(u) * h(v).
Voorbeeld De afbeelding h : R → R gegeven door h(x) = ex is zo'n homomorfisme.