We moeten laten zien dat als c in het interval [-2, 0.25] ligt, herhalen van de operatie z -> z^2+c uitgaande van z=0 tot een begrensde rij aanleiding geeft, terwijl als c niet in dit interval ligt de rij onbegrensd is.
Stel dat c>0.25, zeg c = 0.25+e met e>0. Dan is (z^2+c)-z = z^2-z+1/4+e = (z-1/2)^2+e >= e. Dus we lopen omhoog met stapjes van tenminste e, en de rij is onbegrensd.
Stel c = -2-e met e>0. Dan beginnen we met 0, vinden z^2+c = -2-e, dan z^2+c = 4+4e+e^2-2-e = 2+3e+e^2. Bewering: als z=2+f en f>e dan is (z^2+c) - z > f. En inderdaad, (z^2+c)-z = 4+4f+f^2-2-e-2-f = 3f+f^2-e > f. Dit laat zien dat het vanaf hier steeds harder omhoog gaat.
Stel nu -2 <= c <= 1/4. Dan blijven we bij z -> z^2+c binnen het interval [-a, a] waarbij a de grootste oplossing van a = a^2+c is (dus a = (1+sqrt(1-4c))/2). Inderdaad, we hebben a >= -c en het is duidelijk dat z^2+c >= c. Aan de andere kant, z -> z' = z^2+c is monotoon voor positieve z, dus als 0 <= z <= a dan ook z' <= a. En tenslotte is z^2 = (-z)^2. Dus voor deze waarden van c blijft de rij begrensd.
[Een alternatief argument is wat makkelijker maar splitst het interval in twee stukken. Stel eerst dat -2 <= c <= 0. Dan blijven we bij z -> z^2+c binnen het interval [c,-c]. (Want z^2+c >= c en als |z|<=c dan is z^2+c<=-c omdat c^2+2c<=0.) Stel nu dat 0 <= c <= 1/4. Dan blijven we bij z -> z^2+c binnen het interval [0,1/2] vanwege monotonie.]