Spelen

Een spel (of spelsituatie) is iets van de vorm

        { L | R }

waarbij L en R verzamelingen van spelsituaties zijn. De gedachte is dat er twee spelers Links en Rechts zijn, en dat degene die aan zet is een zet doet door een element te kiezen uit de verzameling van spelsituaties waar de betreffende speler na 1 zet kan komen. Als L = R (zodat beide spelers precies dezelfde mogelijkheden hebben) heet het spel onpartijdig.

De conventie voor het einde van het spel is hier: wie niet meer zetten kan heeft verloren.

Het eenvoudigste spel is het spel 0 = { | }. Beleefd als ik ben laat ik U beginnen, maar U heeft geen zetten en verliest.

Hierna komen de spellen 1 = { 0 | } en -1 = { | 0 } waar respectievelijk Links en Rechts winnen, ongeacht wie er begint, en * = { 0 | 0 } waar de beginner wint.

Het spel * is warm, je wilt er graag in zetten om je positie te verbeteren. Spelen die koud zijn daar wil je niet in zetten, je wordt er alleen maar slechter van, als het mocht zou je liever passen. Een bijzondere klasse van spellen zijn de Getallen. Een getal geeft aan hoeveel zetten je het nog uit kan houden, of meer precies: hoeveel zetten Links voorstaat op Rechts. Deze getallen zijn veel algemener dan de vanouds bekende getallen. Ze kunnen oneindig groot zijn, of oneindig klein. Ze vormen een geordend lichaam dat het lichaam van de reele getallen omvat.

Getallen

Spellen zijn geordend door de relatie <= (kleiner-of-gelijk) gedefinieerd door G <= H geldt altijd, behalve wanneer we inzien dat dit niet zo is, en we zien in dat dit niet zo is wanneer G een linkerelement g heeft met H <= g, of H een rechterelement h met h <= G. (Merk op dat dit een recursieve definitie is: <= wordt gedefinieerd in termen van zichzelf, maar voor eenvoudiger spellen. De bodem van de recursie is het spel 0. Stelling. We hebben G <= 0 als Links aan zet verliest; we hebben G >= 0 (d.w.z. 0 <= G) als Rechts aan zet verliest. G is niet vergelijkbaar met 0 als de beginner wint.)

Een getal is een spel waarvan alle linker- en rechterelementen weer getallen zijn, en bovendien geldt voor elk linkerelement a en elk rechterelement b dat niet b <= a.

Gelijkheid voor getallen

We zeggen dat G = H als zowel G <= H als H <= G. (Bijvoorbeeld: { -1 | 2 } = 0.)

Optelling voor getallen

Als x en y getallen zijn, dan is x + y het spel met linkerelementen xl+y en x+yl voor alle linkerelementen xl van x en yl van rechts, en rechterelementen xr+y, x+yr voor alle rechterelementen xr van x en yr van y.

Stelling. x + y is weer een getal.

Stelling. x + y = y + x.

Stelling. (x + y) + z = x + (y + z).

Stelling. 0 + x = x.

Als x een getal is, dan is -x het spel met linkerelementen -xr en rechterelementen -xl voor alle linkerelementen xl en rechterelementen xr van x.

Stelling. -x is weer een getal.

Stelling. -(-x) = x.

Stelling. -0 = 0.

Stelling. x + (-x) = 0.

Vermenigvuldiging voor getallen

Als x en y getallen zijn, dan is x.y het spel met linkerelementen xl.y+x.yl-xl.yl en xr.y+x.yr-xr.yr en rechterelementen xl.y+x.yr-xl.yr en xr.y+x.yl-xr.yl.

Referenties

J.H. Conway, On Numbers and Games, Academic Press, 1976.

E.R. Berlekamp, J.H. Conway and R.K. Guy, Winning Ways, Academic Press, 1982.

E.R. Berlekamp and D. Wolfe, Mathematical Go: Chilling gets the last point, A.K. Peters, 1994.