AFSTUDEREN bij de groep DAM
AFSTUDEREN bij de groep DAM
(Discrete Algebra en Meetkunde)
Overzicht
Inleiding.
De DAM groep biedt een grote variëteit mogelijkheden, die lopen van
lerarenopleiding tot computer algebra voor de industrie, van
theoretische (zuivere, of fundamentele) wiskunde tot het ontwerpen van
algoritmen voor concreet (wiskundige) problemen.
Veel van ons werk kun je omschrijven als
variant op ICT:
ICM: Information and Communication Mathematics.
Bij ons
wekelijks seminar,
woensdag 14:30-17:00 uur, kun je met de groep kennis maken.
De keuze die je maakt bij het afstuderen binnen deze variëteit,
hangt af van je toekomstperspectief en je houding ten opzichte
van de wiskunde. Om de gedachten te bepalen is hier een grove indeling
van de mogelijke beroepen die je zou kunnen vervullen na je studie
hier. (De indeling is waarschijnlijk niet uitputtend.)
Toekomstperspectief.
-
I. de echte wiskundig ingenieur, iemand die veel wiskunde kent en kan
toepassen op in de maatschappij nuttige vakgebieden; iemand die
*onderzoeksgroepen uit bedrijfsleven en overheid* kan helpen bij
wiskundige modelbouw en het doorrekenen van die modellen;
-
A. de computer algebraïcus, iemand die het arsenaal software systemen
voor wiskunde kent, bijhoudt, helpt ontwerpen en toepassing ervan binnen
en buiten de universiteit stimuleert; ook een baan als
wiskundig informaticus of wiskundig programmeur valt hieronder.
-
L. leraar aan een middelbare school of instelling voor hoger beroepsonderwijs.
-
O. de academisch wiskundige, iemand die wil bijdragen aan de
ontwikkeling van de wiskunde zelf, en een carriere in de wiskundige
onderzoekswereld nastreeft.
Mogelijke onderwerpen
-
Algebraic oil Algebraic oil Bij de vraag hoe meer olie uit de grond
gehaald kan worden [en ook de vraag hoe de olie beter opgespoord kan worden],
zijn klassiek veel fysische modellen ingezet. Maar zijn deze echt beter dan
polynomiale methoden, voorzien van aanpassingen aan niet-exacte getallen en de
nodige statistiek? Recent onderzoek dat van een algebra\"{\i}sch-meetkundig
model uit gaat is veelbelovend en biedt veel perspectief voor verder
algebra\"{\i}sch onderzoek. Deze afstudeeropdracht behelst onder meer
tenminste 6 maanden werken bij het SEP [ SEP weglaten][Research] Laboratorium
van Shell [in Rijswijk]. Voor I, A, en O.
-
High throughput designs In allerlei takken van onderzoek naar de
optimale combinaties van settings (denk aan kleur als functies van stoffen in
een verf, smaak als functie van de ingredi\"enten van voedsel) spelen ook de
interacties tussen de variabelen een rol. Elke testrun, bij gekozen settings
van de parameters, is relatief kostbaar. Daarom is de kunst zo weing mogelijk
testruns te doen en toch enige inzicht te verwerven in de interactie tussen de
verschillende settings (of een deel daarvan). In dit afstudeerwerk gaat het om
het vinden van geschikte proefopzetten van deze soort. Concreet wordt gevraagd
orthogonale array's op te sporen met een grote sterkte. Dit vergt het
ontwikkelen en implementeren van snelle zoekalgoritmen voor programma's die op
een Cray draaien. De afstudeeropdracht vindt plaats in samenwerking met TNO
Delft, waar een stage als onderdeel van het afstudeerwerk voorzien is.
Voor I en A.
-
Lie algebra's. Een Lie algebra is een vectorruimte waarop een
vermenigvuldiging gedefinieerd is die niet associatief is maar
dezelfde eigenschappen vertoont als de "vermenigvuldiging"
x*y-y*x, waar * de gewone vermenigvuldiging is.
De bouwstenen (net als de priemgetallen onder de gehele getallen)
onder de Lie algebra's zijn de zogenaamde enkelvoudige Lie algebra's.
Voor bijna elk lichaam van scalairen is min of meer bekend welke enkelvoudige
Lie algebra's er zijn. Voor het lichaam van 2 elementen is het zelfs voor
kleine dimensies niet duidelijk wat de enkelvoudige Lie algebra's zijn.
De opdracht is een speurtocht hiernaar.
Voor A en O.
-
Meetkunde van flessen, splines met krommingseisen. Voor I en A. We
hebben ons bekwaamd in het vinden van oppervlakken met
"gezonde" eigenschappen, zoals positieve kromming alom,
uitgaande van gegeven randvoorwaarden. De afstudeeropdracht bestaat
uit het verfijnen van de techniek en toepassing ervan op concrete
voorbeelden.
-
JAVA applets voor interactief lesmateriaal in de discrete
wiskunde en de algebra. Zie het Interactief Dictaat
Algebra. Daar zitten applets in die ontwikkeld zijn om een stukje
wiskunde of een toepassing ervan op speelse manier duidelijk te
maken. Het ontwikkelen van dergelijke programma's voor discrete
wiskunde is de afstudeeropdracht. Voor L, I en A.
- OpenMath de ontwikkeling van een omgangstaal voor computer algebra,
automatische bewijsverificatoren, en mensen.
De OpenMath beweging
is doende zo'n taal te maken. Je kunt meehelpen door voor een speciaal
gebied een zogenaamde Content Dictionary te schrijven,
zogenaamde Phrasebooks voor onze eigen programmatuur te schrijven,
dan wel een aantal gebruiksvoorbeelden te creëren.
- Vergelijkingen met symmetrie Stel je hebt een stel
vergelijkingen die invariant zijn (niet noodzakelijk stuk voor stuk,
maar als verzameling) onder permutaties van de coördinaten. Dan
is de oplossingsverzameling een vereniging van banen onder de
symmetrische groep. De elementair symmetrische functies vormen daar een goed
coördinaten stelsel voor. Hoe kun je het oorspronkelijke stelsel vergelijkingen herschrijven tot vergelijkingen in de elementair symmetrische functies?
Voorbeeld:
X1X2
+X2X3
+X1X3 = 1
X2X3
+X3X4
+X2X4 = 1
X1X3
+X3X4
+X1X4 = 1
X1X2
+X2X4
+X1X4 = 1
is invariant onder S4 de symmetrische groep op vier letters.
De elementair symmetrische functies zijn
s1 = X1+X2+X3+X4
s2 = X1X2
+X2X3+X3X4+X1X4
s3 = X1X2X3+X2X3X4+X1X3X4+X1X2X4
s4 = X1X2X3X4.
Als je de oorspronkelijke vergelijkingen alle vier optelt, krijg je
s2 = 4/3, dus s2 = 0 is een voorbeeld
van een vergelijking in de si die de oplossingen
beschrijft. Vindt ze allemaal!
- enz., er is nog veel meer mogelijk dan hier geschetst.
Ga eens praten met een van de afstudeerdocenten uit de groep
Blokhuis,
Brouwer,
Cohen.