Analyse

1. GETALLEN. NOTATIES.
   
   
• N , Z , Q , R.
• Ordening. Intervallen [a,b], [a,b) , etc.
• Sommen, producten, machten, modulus.
• Driehoeksongelijkheid.
• Merkwaardige producten.
• - en-notaties.
• Eigenschappen van R , supremum, infimum.
• Volledige inductie.
• n! , binomium van Newton.
  
  
2. COMPLEXE GETALLEN.
   
   
• Introductie van C via het platte vlak.
• z = r cos fi + i r sin fi.
• Absolute waarde en argument.
• Reëel en imaginair deel: optelling als vanouds in R², vermenigvuldiging met optelling van argumenten, inverse.
• Rekenregels net als in R.
• Driehoeksongelijkheid met varianten en betekenis.
• Complexe exponentiele functie. Formules van Euler.
• Complexe logarithme.
• Polynoomvergelijkingen met speciale aandacht voor de binomiaalvergelijking zⁿ = a.

 
3. INLEIDING REËLE FUNCTIES.
   
   

Hoofdzakelijk bedoeld voor zelfstudie en ter homogenisatie van de VWO-voorkennis.
 
• Reële functie (concept). Domein en co-domein. Samenstellingen van functies. Grafieken.
• Polynomen. Nulpunten. Rationale functies.
• Injectie. Surjectie. Bijectie. Inverse. Monotonie.
• Gebroken machten. Algebraische functies.
• Logarithme. Grafische introductie via de grafiek van y = 1/x. Algebraische en asymptotische eigenschappen. Schattingen voor ln(1+h).
• Exponentiele functie. grafische toelichting. Algebraische en asymptotische eigenschappen. Definitie van x^a met x>0, a in R.
• Goniometrische functies. Invoering via cirkelkwadrant. Goniometrische formules.Ongelijkheden.
• Cyclometrische functies. Grafische introductie via de grafieken

van y = (1 - x² )^-1/2 en y = (1 + x² )^-1 .
Verband met locale inversen van goniometrische functies.
• Hyperbolische functies.

 
4. LIMIETEN EN CONTINUITEIT (1 variabele)

Korte en vooral 'conceptuele' behandeling.
 
• Limietbegrip : lim_x->a f(x), etc. Rekenregels. Insluitstelling.
• Continuïteit. Tussenwaardestelling. Stelling van Weierstrass.
• Continu en bijectief <=> Continu en monotoon.
• 'Formulefuncties' zijn continu.
• Enkele standaardlimieten en eenvoudige berekeningen daarmee.
• Limieten van rijen.

 
5. DIFFERENTIAALREKENING (1 variabele)
   
   
• Definitie van de afgeleide. Linearizatie.
• Regels van Leibniz. Kettingregel.
• Inverse-functie-stelling.
• Stelling van Rolle.
• Middelwaardestelling (voor 2 functies).
• Taylorpolynomen met resttterm.
• Regel van De L'Hôpital.
• Iteratierijen en Newton-Raphson.
• Kromming en kromtestraal.
• Convexe/concave functies.

 
6. INTEGRAALREKENING (reële functies)
   
   
• Newtonintegraal.
• Primitiveren. Rekenregels. Differentiaalnotatie.
• Partieel integreren. Substitutie.
• Hoofdstelling van de integraalrekening.
• Taylor met restterm in integraalvorm.
• Riemannsommen.
• Middelwaardestelling voor integralen.
• Oneigenlijke integralen.

 
7. INTEGRAALREKENEN voor GEVORDERDEN.
   
   
• Recurrente betrekkingen.
• Partieelbreuksplitsing.
• Integralen mety wortelvormen.
• Goniometrische integralen.
• Product van Wallis.
• Integralen met een parameter.
• Gamma en Beta-functie.
• Error-functie.
• Lengte van Grafiekkrommen.

 
8. HET INTEGRAALBEGRIP (conceptueel).
   
   
• Correcte behandeling, zonder al te veel details, van de Riemannintegraal

via 'beneden- en boven-trapfuncties'.
• Het oppervlaktebegrip in R² als Riemannintegraal.

 
9. REEKSEN VAN REELE GETALLEN.
   
   
• Limieten van rijen. Reeksen.
• Rekenregels.
• Majoranten/Minoranten criteria. Limietkenmerk.
• Absolute convergentie. Cauchy. d'Alembert.
• Convergentie van rⁿ , 1/n^p.

 
10. MACHTREEKSEN.
    
    
• Convergentiestraal.
• Differentieren en integreren van functies gedefinieerd door machtreeksen.
• Standaardmachtreeksen.
• Eenvoudige expliciete sommaties.

 
11. VECTORMEETKUNDE EN KEGELSNEDEN.
    
    
• Eenvoudige meetkunde en topologie van R² en R³.
• Poolcoördinaten. Cylindercoördinaten. Bolcoördinaten.
• Mentale voorstelling van functies met grafieken, niveaulijnen en niveauvlakken.
• Vectorfuncties.
• Samengestelde functies.
• Parametervoorstellingen van krommen en oppervlakken(ook in poolcoördinaten).
• Kwadratische krommen en oppervlakken.
• Beschrijving van gebieden in R² en R³ met ongelijkheden.
• Omwentelingslichamen.

 
12. ANALYSE/CALCULUS IN MEERDERE VARIABELEN.
    
    
• Richtingslimieten. 'Totale' limieten.
• Continuïteit.
• Richtingsafgeleiden. Partiele afgeleiden.
• Hogere partiele afgeleiden. Kettingregels.
• 'Totale' differentieerbaarheid. Raakvlak.
• Gradient en richtingsafgeleide.
• Raakvectoren aan krommen en oppervlakken.
• Continuïteit en differentieerbaarheid van functies van 2 of meer variabelen.
• 'Impliciet' differentieren.
• Taylorontwikkelingen.

 
13. EXTREMA VAN FUNCTIES VAN 2 OF 3 VARIABELEN.
    
    
• Extrema in gebieden.
• Het Delta-criterium.
• Extrema onder nevenvoorwaarden.
• Lagrange multiplicatoren.

 
14. INTEGRALEN OVER 2 EN 3 DIMENSIONALE GEBIEDEN.
    
    
• Concepten.
• Herhaalde integralen.
• Beschrijving van gebieden in poolcoördinaten, cylindercoördinaten en bolcoördinaten.

Integreren in genoemde coördinaten.
• De 'transformatie-van-variabelen formule'.
• Inhoud van omwentelingslichamen: de schijven en ringetjes-methoden.
• Oneigenlijke integralen.

 
15. INTEGREREN OVER KROMMEN EN OPPERVLAKKEN.

 
• Heuristiek en definities.
• Ongevoeligheid van de 'uitkomst' voor parameterwisselingen.
• Beschrijving met de Gramm-determinant.

 
16. VECTORANALYSE.

Eerst behandeling in Cartesische coördinaten
 
• Scalaire velden.
• Vectorvelden.
• Gradiënt divergentie en rotatie operaties (ook in coördinaatvrije vorm).
• Vectordifferentiaalrekening (een vleugje Nabla-calculus).
• Oriëntatie van een kromme. De lijnintegraal van een vectorveld.
• Oriëntatie van een oppervlak. De oppervlaktegraal van een vectorveld.
• De integraalstellingen van Gauss, Green en Stokes.
• Conservatieve velden.
• Bronvrije velden.
• Beschrijving van vectorvelden met orthogonale kromlijnige coördinaten.
• Vectordifferentiaalrekening in orthogonale kromlijnige coördinaten.

 
17. GEWONE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN.

 
• Opmerkingen over existentie en eenduidigheid van oplossingen.
• Classificatie.
• Eerste orde DV's. Richtingsvelden.
• (In)homogene DV's. Scheiding van veranderlijken.
• Lineaire DV's. Exacte DV's. Methode van Euler.
• Tweede orde DV's.Omzetting naar stelsel van 1e orde.
• Lineaire DV's met constante coefficienten.

LINEAIRE ALGEBRA

1. VECTORMEETKUNDE

 
• Vectoren en vectoroperaties in R², R³ en Rⁿ.
• Inproduct, lengte van en hoeken tussen vectoren in R², R³ en Rⁿ.
• Lineaire combinaties van vectoren.
• Vergelijking en parametervoorstelling van lijnen en vlakken in R², R³.
• Uitwendig product in R³.

 
2. STELSELS LINEAIRE VERGELIJKINGEN

 
• Gauss en Gauss-Jordan algoritme.
• Oplossen van stelsels met de algoritmen van Gauss en Gauss-Jordan in matrixnotatie.
• Representeren van de algemene oplossing van een stelsel in vectornotatie.
• Oplosbaarheid en strijdigheid, terminologie zoals vrije- en basisvariabelen, reguliere en singuliere stelsels, onder- en overbepaalde stelsels etc.
• Homogene en inhomogene stelsels vergelijkingen.
• Diverse representaties van stelsels m.b.v. inproduct en lineaire combinaties van rijen en kolommen.

 
3. MATRIXREKENING

 
• Matrixbewerkingen (incl. transponeren).
• Speciale matrices (nulmatrix, eenheidsmatrix, etc.), symmetrische matrices.
• Inverteerbare matrix, inverse matrix; berekening inverse.
• Verband tussen reguliere/singuliere matrices en reguliere/singuliere stelsels.
• Determinant van een matrix: eigenschappen, berekenen van de determinant door vegen, berekenen van de determinant door ontwikkelen.
• Regel van Cramer.
• De determinant als volume (2 en 3 dimensionaal).
• Verband tussen determinant en inverteerbaarheid van een matrix en oplosbaarheid van stelsels.

 
4. LU-DECOMPOSITIE

 
• Berekening LU-decompositie voor een vierkante reguliere matrix.
• Positief definiete matrices.

 
5. LINEAIRE DEELRUIMTEN VAN DE Rⁿ.

 
• Definitie deelruimte en indicatie van het algemene begrip lineaire ruimte, voorbeelden in de Rⁿ.
• (On)afhankelijkheid, basis, dimensie.
• Nulruimte, kolommenruimte en rijenruimte van een matrix, rang.
• Dimensiestelling voor matrices.
• Stellingen over existentie en uniciteit van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen.
• Coördinaatvectoren.
• Basistransformaties.

 
6. VERDIEPING LINEAIRE DEELRUIMTEN

 
• Axiomatische introductie lineaire ruimte.
• Andere voorbeelden dan Rⁿ.

 
7. INPRODUCTRUIMTEN, ORTHOGONALITEIT en PROJECTIES

 
• Projectie van vectoren op deelruimten van de Rⁿ, projectiematrix.
• Orthogonaal, orthonormaal en orthoplement.
• Gram-Schmidt orthonormalisatieproces .
• Definitie van een orthogonale matrix .

 
8. KLEINSTE-KWADRATENMETHODE

 
• Berekenen kleinste-kwadratenbenadering m.b.v. de normaal-vergelijking.
• Enkelvoudige en meervoudige regressie in verschillende situaties.

 
9. LINEAIRE AFBEELDINGEN

 
• Definitie lineaire afbeelding.
• Nulruimte, beeldruimte, injectief en surjectief.
• Matrixvoorstelling van een lineaire afbeelding.
• Dimensiestelling.
• Relatie met het oplossen van stelsels vergelijkingen.

 
10. EIGENWAARDEN en EIGENVECTOREN

 
• Eigenwaarde, eigenvector en eigenruimte van een matrix.
• Karakteristiek polynoom, karakteristieke vergelijking, algebraische- en meetkundige multipliciteit.
• Eigenwaarde, eigenvector en eigenruimte van een lineaire afbeelding.
• Diagonaliseerbaarheid en eigenwaarden-decompositie.
• Complexe eigenwaarden en eigenvectoren van reele matrices.
• Invariante deelruimte, verband met complexe nulpunten karakteristieke veelterm.

 
11. Toevoegingen EIGENWAARDEN en EIGENVECTOREN

 
• Verband tussen het spoor en de determinant van een matrix en het karakteristiek polynoom en de eigenwaarden van een matrix.
• Eigenwaarden en eigenvectoren van aan A (een matrix) gerelateerde matrices.

 
12. STELSELS LINEAIRE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN MET CONSTANTE COEFFICIENTEN

 
• Ontkoppelen door diagonaliseren.
• Algemene reele (complexe) oplossing.
• Beginwaardeprobleem.
• Exponentiële functie voor matrices.
• Homogene n-de orde vergelijkingen met constante coëfficiënten.
• Uitbreiding naar inhomogene stelsels.

 
13. LAPLACE-TRANSFORMATIE

 
14. SPECIALE AFBEELDINGEN: ORTHOGONALE en SYMMETRISCHE LINEAIRE AFBEELDINGEN

 
• Symmetrische afbeelding en matrix, diagonaliseerbaarheid.
• Orthogonale afbeelding en matrix; meetkundige betekenis; klassificatie in R² en R³.

 
15. KWADRATISCHE VORMEN IN R² EN R³.