Vakpagina  Analyse in nD (2WA14)


"The noblest pleasure is the joy of understanding."

                                          (L. da Vinci)



Docent: G. Prokert
Instructeur: R. v. Hassel
Instructeur Rekenvaardigheden:  A. Duits


Verdere algemene informatie: zie OWINFO

Algemene opmerkingen

Een hoofddoel van het vak is een inleiding te geven niet alleen in de te behandelen stof maar ook in de typische werk- en denkwijze van de wiskunde.  Dit houdt in het bijzonder in dat  we veel andacht zullen besteden aan het (leren) bewijzen van stellingen en aan het leren lezen, schrijven en begrijpen van de "taal van de wiskunde".
 

Met [K] wordt het volgende boek aangeduid: W. Kosmala, A friendly introduction to Analysis, 2nd edition, Prentice Hall, ISBN: 0131273167

Kijk ook eens in andere boeken! 


Aanvullend studiemateriaal online

[C] W.W.L. Chen: Multivariable and Vector Analysis, een soort collegedictaat dat vrij op internet beschikbaar is. De definities
komen niet altijd overeen met de onze, maar het biedt veel voorbeelden en is in tegenstelling tot het boek [K] niet beperkt tot het geval van twee variabelen. Zeer aanbevolen!

Collegeindeling

(onder voorbehoud)

De nummers van de colleges en weken zijn doorlopend van de colleges Inleiding Analyse (2WA20)  en  Analyse in 1D (2WA21).

College 31:  Topologische basisbegrippen in R^d I

Materiaal:  [K] 10.1, [C] 1.2.

Kernbegrippen: Norm en (euclidische) afstand in R^d, innere punt van een verzameling in R^d, open verzamelingen,
het inwendige van en verzameling, rand van een verzameling

Centrale stellingen: Eigenschappen van norm en afstand, ongelijkheid van Cauchy-Schwarz, driehoeksongelijkheid,
karakterisering van het inwendige, willekeurige verenigingen en eindige doorsneden van open verzamelingen zijn open

Vaardigheden: Bepalen van het inwendige en de rand van verzamelingen in R^d, herkennen van open verzamelingen

College 32:  Topologische basisbegrippen in R^d II

Materiaal:  [K] 10.1, ]  [C]  1.2.

Kernbegrippen: Rijen en limieten van rijen in R^d, verdichtingspunten van rijen en verzamelingen in R^d, gesloten verzamelingen,
afsluiting van een verzameling

Centrale stellingen:  Karakterisering van convergentie van rijen in R^d m.b.v. componentrijen, willekeurige doorsneden en eindige verenigingen van gesloten verzamelingen zijn gesloten, karakteriseringen voor gesloten verzamelingen en afsluitingen

Vaardigheden: bepalen van verdichtingspunten en afsluitingen van verzamelingen in R^d, herkennen van gesloten verzamelingen


Opgaven Week 16


na het eerste college: opg 1, onderdelen: inwendige, rand, welke verzameligen zijn open?
opg. 3, 4ab, 6.



College 33:  Compacte verzamelingen  in R^d

Materiaal:  [K] 10.1, aantekeningen

Kernbegrippen: begrensde verzameling, (open) overdekking, deeloverdekking, compacte verzameling

Centrale stellingen: stelling van Bolzano-Weierstrass in R^d, stelling van Heine-Borel

Vaardigheden: herkennen van compacte verzamelingen, toepassen van de behandelde stellingen

College 34:  Limieten en continuïteit van functies op R^d

Materiaal:  [K] 10.2, [C]  1.3., 1.4

Kernbegrippen: Limiet van een functie van meerdere variabelen in een punt, continue (vectorwaardige) functie,

Centrale stellingen:  Karakteriseringen voor limieten en continuïteit in termen van rijen in R^d, limietstellingen,

Vaardigheden: bepalen van limieten en herkennen van continuïteit voor functies van meerdere variabelen



Opgaven Week 17

na het eerste college: opg 1t/m 4


College 35:  Continuïteit II, partiële afgeleiden

Materiaal:  [K] 10.2, 10.3, [C] 2.1

Kernbegrippen: Uniforme continuiteit van functies van meerdere variabelen, partiële functie, partiële afgeleide, partiële differentieerbaarheid

Centrale stellingen: Continue functies op compacte verzamelingen hebben compact beeld en zijn uniform continu. Continue
reëelwaardige functies op compacte verzamelingen nemen het minimum en maximum aan.  Composities van continue functies zijn continu.
Vastepuntsstelling van Banach

Vaardigheden: Toepassen van de behandelde stellingen, berekenen van partiële afgeleiden, (incl. hogere orde)

College 36:  Differentieerbaarheid, totale afgeleide

Materiaal:  [K] 10.3, 10.4, [C] 2.2., 2.3

Kernbegrippen: Differentieerbare (reëelwaardige) functie op R^d, totale afgeleide, linearisering, gradiënt

Centrale stellingen:  Verwisselen van de volgorde van partiele afgeleiden, differentieerbare functies zijn partieel differentieerbaar

Vaardigheden: Toepassen van de behandelde stellingen, berekenen van (totale) afgeleiden, lineariseringen en gradiënten


Opgaven Week 18



College 37: Differentieerbare functies

Materiaal:  [K]  10.4, 10.5., [C] 2.4, 2.6,  aantekeningen

Kernbegrippen: richtingsafgeleide, differentieerbaarheid van vectorwaardige functies, Jacobimatrix

Centrale stellingen: continu partieel differentieerbare functies zijn differentieerbaar

Vaardigheden: berekenen en interpreteren van richtingsafgeleiden, berekenen van Jacobimatrices

College 38: Kettingregel en stelling van Taylor in R^d

Materiaal:  [K] 10.6., [C] 2.5, aantekenigen

Kernbegrippen: (hogere orde) richtigsafgeleide

Centrale stellingen:  Kettingregel voor (vectorwaardige) functies van meerdere variabelen, gradiënt staat loodrecht op niveaulijnen/vlakken,
Stelling van Taylor in meerdere variabelen

Vaardigheden: Toepassen van de behandelde stellingen, i.h.b. uitvoeren van differentiaties m.b.v. de meerdimensionale kettingregel
en berekenen van Taylorpolynomen





Opgaven Week 19

na het eerste college: opg. 1t/m 4



College 39: Kritieke punten en extrema

Materiaal:  aantekeningen

Kernbegrippen: kritiek punt, extremum, locaal / globaal  maximum / minimum, zadelpunt (voor reëelwaardige functie van meerdere variabelen)

Centrale stellingen: Extrema op open verzamelig treden alleen in kritieke punten op (noodzakelijke voorwaarde).
Karakterisering van kritieke punten in het geval d=2 ("Tweede afgeleide test").

Vaardigheden: Bepalen van kritieke punten voor reëelwaardige functie van d variabelen, in het geval d=2 bepalen van het type.

College 40:   Extrema op gesloten gebieden, Impliciete functiestelling

Materiaal:  aantekeningen, [C] Ch. 3

Kernbegrippen:  "impliciete functie"

Centrale stellingen: impliciete functiestelling

Vaardigheden: Bepalen van extrema voor functies op compacte verzamelingen, toepassen van de behandelde stellingen





Opgaven Week 20

na het eerste college: opg. 1 en 2





College 41: Riemannintegratie in R^d: rechthoekgebieden

Materiaal: [K] 11.1, 11.2

Kernbegrippen: Partitie van een rechthoek, bovensom, ondersom, Riemannsom, bovenintegraal, onderintegraal, Riemann integreerbare functie,
Riemannintegraal

Centrale stellingen: continue functies op gesloten rechthoekgebieden zijn Riemannintegreerbaar, stelling van Fubini

Vaardigheden: berekenen van integralen op rechthoek-en blokgebieden d.m.v. geïtereerde integralen

College 42:   Riemannintegratie in R^d: algemene gebieden

Materiaal:  [K] 11.3

Kernbegrippen: Verzameling met Jordaninhoud 0 (nulverzameling), Jordan meetbare verzameling (Jordanverzameling) , integraal van een (begrensde, continue) functie op een Jordan meetbare verzameling

Centrale stellingen: Lipschitz continue krommen hebben Jordaninhoud 0, begrensde functies op rechthoeken die discontinu zijn op een verzameling met Jordaninhoud 0 zijn Riemann integreerbaar.

Vaardigheden: Berekenen van integralen over geschikte gebieden gebieden in R^2 en R^3 door geïtereerde integralen, verwisselen van integratievolgorde, bepalen van de bijbehorende integratiegrensen



Opgaven Week 21

na het eerste college: opg. 1 , 2, 3



College 43: Riemannintegratie in R^d: Variabelentransformatie

Materiaal: [K] 11.10 Part 1, [C] Ch. 6, aantekeningen

Kernbegrippen: volume van een gebied, poolcoördinaten, cylindercoördinaten

Centrale stellingen: transformatiestelling   met schema voor bewijs
Vaardigheden: berekenen van integralen m.b.v. de transformatiestelling, i.h.b. in het geval van pool- en cylindercoördinaten, bepalen van de bijbehorende
integratiegrensen


College 44: Riemannintegratie in R^d: voorbeelden en toepassingen

Materiaal:  [C] Ch. 6, aantekeningen

Kernbegrippen: bolcoördinaten

Vaardigheden: berekenen van integralen m.b.v. de transformatiestelling, i.h.b. in het geval van bolcoördinaten, bepalen van de bijbehorende integratiegrensen



Opgaven Week 22

na het eerste college: opg. 1 , 2, 3, 4, 5ab, 6




College 45:  Herhaling en voorbeelden 

Herhalings -en testopgaven (niet in te leveren)




Tentamen:



mei 2007               juni 2007       
april 2008             juni 2008      
april 2009             juni 2009
april 2010             juni 2010
april 2011             juni 2011
april 2012             juli  2012

Uitwerkingen april 2012