Vakpagina Inleiding Analyse (2WA20)


"The noblest pleasure is the joy of understanding."

                                          (L. da Vinci)



Docent: G. Prokert
Instructeurs Wiskundepracticum: J.C. v.d. Meer, B.M.M. de Weger
Instructeur Rekenvaardigheden:  J. Draisma

Verdere algemene informatie: zie OWINFO

Algemene opmerkingen

Een hoofddoel van het vak is een inleiding te geven niet alleen in de te behandelen stof maar ook in de typische werk- en denkwijze van de wiskunde.  Dit houdt in het bijzonder in dat  we veel andacht zullen besteden aan het (leren) bewijzen van stellingen en aan het leren lezen, schrijven en begrijpen van de "taal van de wiskunde".
 
Deze doelen vormen een uitdaging voor iedereen die serieus aan een studie wiskunde begint, want dit is vaak nieuw vergeleken met de wiskunde zoals gepresenteerd op het VWO. Dat  er  hierbij moeilijkheden optreden is niet de uitzondering maar de regel.

Enkele tips om die moeilijkheden te overkomen:
  1. Oefening baart kunst.  Niemand verwacht dat hij/zij leert schaatsen door naar een schaatser te kijken of pianospelen door naar een pianist te luisteren. Net zo min leer je wiskunde door allen maar te luisteren en toe te kijken. Het (zelf!) maken van (tenminste!) de wekelijkse oefenopgaven is dus het centrale onderdeel van het vak.
  2. De aanhouder wint. Net zo min als bij het schaatsen of pianospelen zal je meteen op het niveau van een ervaren beoefenaar zijn. Dit is niet erg, als je door blijft gaan met werken zal je vrij snel vooruitgang boeken.
  3. Blijf op de hoogte. Het is kenmerkend voor ons vak dat de stof van latere colleges voortbouwt op die van eerdere. Laat dus geen achterstand ontstaan bij het zelf begrijpen en verwerken van de stof. Problemen gaan niet over door wachten.
  4. Formuleer vragen. Als er iets onduidelijk is, probeer dan je probleem zo precies mogelijk als vraag te formuleren; vaak blijkt dit al een grote stap naar de oplossing te zijn.
  5. Erover praten helpt. Je bent niet alleen. De werkgroepen  tijdens het wiskundepracticum hebben ook het doel om jullie met elkaar over wiskunde te leren praten. Maak daar gebruik van, en praat ook eens met andere studiegenoten / begeleiders ... over analyse.
  6. Kijk rond. Probeer eens de stof van onze colleges in andere boeken of op internet terug te vinden. Wat zijn de overeenkomsten en verschillen?


Collegeindeling

(onder voorbehoud!)

Met [K] wordt het volgende boek aangeduid: W. Kosmala, A friendly introduction to Analysis, 2nd edition, Prentice Hall, ISBN: 0131273167

College 1:  Elementaire logica: beweringen en bewijzen

Materiaal: aantekeningen, [K] 1.4.

Kernbegrippen: bewering, bewijs, implicatie, equivalentie van beweringen, conjunctie, disjunctie, negatie, existentie- en universele beweringen

Centrale stellingen: "rekenregels" voor negaties, contrapositie

Vaardigheden: Omgaan met verschillende types van beweringen, bepalen van de juiste vorm van de bijbehorende bewijzen, vormen van negaties

College 2:  Elementaire verzamelingenleer

Materiaal:  [K] 1.1.

Kernbegrippen: verzameling, element, deelverzameling, doorsnede, verschil, differentie, lege verzameling, cartesisch product

Centrale stellingen: "rekenregels" voor verzamelingen

Vaardigheden:  uitvoeren van operaties met verzamelingen, bewijzen van rekenregels m.b.v. elementaire logica

Opgaven Week 1

College 3:  Het algemene functiebegrip

Materiaal:  [K] 1.2., 1.5

Kernbegrippen:   relatie, functie, inverse relatie/functie, domein, bereik, injectiviteit, surjectiviteit, bijectiviteit, compositie

Vaardigheden: herkennen en aantonen van eigenschappen van functies, uitvoeren van operaties van functies op verzamelingen (zoals in [K] Ex. 1.2. 18--22)


College 4:  Geordende verzamelingen, geordende lichamen, reële getallen I

Materiaal:  [K] 1.7.

Kernbegrippen:  ordeningsrelatie, geordende verzameling, naar boven / beneden begrensde verzameling, maximum, minimum, infimum, supremum, open / halfopen / gesloten interval, geordend lichaam, volledig geordend lichaam

Centrale stellingen: Q is een geordend lichaam, maar niet volledig geordend, R is een volledig geordend lichaam

Vaardigheden: Bepalen van maxima / minima en suprema / infima, omgaan met deze begrippen en bewijzen van bijbehorende eigenschappen.

Opgaven Week 2



College 5:  Reële getallen II, rijen I

Materiaal:  [K] 1.7, 2.1

Kernbegrippen:  rij, naar boven / beneden begrensde rij, (strict) monotoon stijgende/dalende rij, limiet

Centrale stellingen: Eenduidigheid van de limiet, begrensdheid van convergente rijen

Vaardigheden: herkennen van eigenschappen van rijen

College 6:  Rijen II: Limietstellingen en standardlimieten

Materiaal:  [K] 2.2 - 2.4

Kernbegrippen: oneigenlijke limieten

Centrale stellingen: Limietstellingen voor sommen, producten, quotienten, ongelijkheden, insluitstelling, stellingen over standardlimieten

Vaardigheden: berekenen van limieten op basis van de behandelde stellingen


Opgaven Week 3

College 7:  Rijen III: Deelrijen en Cauchyrijen

Materiaal:  [K] 2.5 - 2.6

Kernbegrippen: Getal e, deelrij, verdichtingswaarde, Cauchyrij

Centrale stellingen: Stelling van Bolzano-Weierstrass, Cauchyrijen zijn convergent

Vaardigheden: toepassen van de behandelde stellingen op convergentiebewijzen

College 8: Reeksen I

Materiaal:  [K] 7.1, (delen van) 7.2

Kernbegrippen: partiële som van een rij, reeks, convergentie / divergentie van een reeks, meetkundige reeks, harmonische reeks, majorante, minorante, absolute convergentie

Centrale stellingen: Convergentiegedrag van meetkundige en (hyper)harmonische reeksen, absoluut convergente reeksen zijn convergent, de termen van een convergente reeks gaan naar 0, de "staart" van een convergente reeks gaat naar 0

Vaardigheden: herkennen van reeksen van de behandelde types, toepassen van de behandelde stellingen bij het onderzoeken van reeksen op convergentie



Opgaven Week 4


College 9: Reeksen II

Materiaal:  [K] 7.3, 7.4

Kernbegrippen: alternerende reeks

Centrale stellingen: Quotiëntencriterium, wortelkriterium, kenmerk van Leibniz

Vaardigheden: herkennen van reeksen van de behandelde types, toepassen van de behandelde stellingen bij het onderzoeken van reeksen op convergentie
 
College 10: Reeksen III

Materiaal: aantekeningen, [K] 7.4,
Kernbegrippen: Cauchyproduct, exponentiaalfunctie, herordening van een reeks

Centrale stellingen: Product van twee absoluut convergente reeksen, eigenschappen van de exponentiaalfunctie,
stellingen over herordeningen van absoluut / niet absoluut convergente reeksen

Vaardigheden: rekenen met de exponentiaalfunctie, toepassen van de behandelde stellingen



Opgaven Week 5


College 11:  Limieten van functies I

Materiaal:  [K] 3.1, 3.2, aantekeningen

 Kernbegrippen: verdichtingspunt van een verzameling in R, limiet van een functie "bij oneindig", limiet van een functie bij een reëel getal

Centrale stellingen: Karakterisering m.b.v. rijen, Limietstellingen voor functies

Vaardigheden: Bepalen van limieten van functies



College 12:  Limieten van functies II, Continuiteit

Materiaal:  [K]  3.2, 3.3, 4.1 aantekeningen

Kernbegrippen: Karakterisering m.b.v. rijen, eenzijdig limiet, continuiteit van een functie (op deelverzamelingen van R)

Centrale stellingen: equivalente karakteriseringen van continuiteit

Vaardigheden:  bepalen van continuiteit / discontinuiteit van functies



Opgaven Week 6



College 13:  Continue functies

Materiaal:  [K] 4.2, 4.3, aantekeningen


Kernbegrippen: logaritme

Centrale stellingen: continue functies hebben op begrensde, gesloten intervallen een maximum en een minimum, tussenwaardestelling, de inverse van een injectieve continue functie is continu

Vaardigheden: Toepassen van de behandelde stellingen, rekenen met logaritmes

College 14: Uniforme continuiteit, Differentieerbaarheid

Materiaal:  [K]  4.4, 5.1 aantekeningen


Kernbegrippen: uniforme continuiteit, Lipschitz continuiteit, differentieerbaarheid, afgeleide

Centrale stellingen: Uitbreidbaarheid van uniform continue functies, continue functies op begrensde, gesloten intervallen zijn uniform continu.

Vaardigheden:  bepalen of en functie uniform continu dan wel Lipschitz continu is, bepalen van afgeleiden m.b.v. limieten


Opgaven Week 7





Tentamen:

Oct. 2006          Nov. 2006  
Oct. 2007          Nov. 2007          
Oct. 2008          Nov. 2008

Let op: Deze oude tentamens bevatten alleen de stof tot en met week 5. Opgaven over de stof van week 6 en 7 zijn te vinden in de  tentamens van Analyse in 1D van de jaren 2006-08.

Oct. 2009      Jan. 2010
Oct. 2010      Jan. 2011