AANSLUITINGSPROJECT TUE - VO
startpagina ] omhoog ] RSA-geheim ] recursief tellen ] nulpunten ] vierkleurenprobleem ] negen- elfproef ] tripels ] willekeurige getallen ] beeldbewerking ] lijnen in driehoek ] Platonische lichamen ] rijden maar ] [ cont kansen ] dobbelen ] De wet van Benford ] rozen ] superellipsen van Piet Hein ]

 

Praktische Opdracht
Continue kansproblemen


Probleemomschrijving
De kwadratische vergelijking x2 + bx + c = 0 kan nul, een of twee oplossingen hebben. Als je b en c willekeurig kiest uit de uniforme verdeling [-1 , 1] dan zijn de kansen op nul, een of twee oplossingen echter niet zonder meer gelijk.

De kans op geen oplossingen is kleiner dan de kans op twee oplossingen. Immers als er geen oplossing is, dan moet gelden c > b2 / 4 en in het onderstaande figuur zie je dat die kans kleiner is dan .

In dit tweedimensionale kansprobleem zijn kansen verhoudingen van oppervlakten. De kans op geen oplossing is de verhouding van de gearceerde oppervlakte en de totale oppervlakte. Met een integraal kun je dus de precieze kans op geen oplossing berekenen.

De totale oppervlakte hoort bij de kansruimte (alle mogelijke uitkomsten) en is in dit geval gelijk aan de oppervlakte van het vierkant = 2*2 = 4. De kans op precies 1 oplossing is overigens 0 omdat de oppervlakte van de kromme met vergelijking c = b2 / 4 gelijk is aan 0.

Voor wie
Profielen NG&NT

Omvang
8 slu

Beginkennis
Domein Bb; subdomein integraalrekening: je moet met integralen oppervlaktes kunnen berekenen 

Wat wordt er van je verwacht?
In de eerste plaats laat je zien (met behulp van integreren) dat de kans op geen oplossing in het bovenstaande probleem gelijk is aan 11/24. Daarna maak je de volgende varianten:

variant A
Ga weer uit van de kwadratische vergelijking x2 + bx + c = 0. Maar dit keer komen b en c willekeurig uit [-100 , 100]. Bepaal ook nu de exacte kans op 2 oplossingen en de exacte kans op nul oplossingen.

variant B
En wat worden de antwoorden als a en b willekeurige getallen zijn uit R?

Tenslotte maak je n van de twee onderstaande kansproblemen.

probleem C
Bepaal de kans dat de derdegraadsvergelijking x3  -3ax + b = 0 meer dan n oplossing heeft als a en b willekeurig uit  [-1 , 1] gekozen worden. 

Tip: maak een schets en breng het aantal nulpunten in verband met het maximum en het minimum van de derdegraadsfunctie f(x) = x3  -3ax + b  

probleem D
Als je een lucifer op een blad papier gooit waarop evenwijdige lijnen getekend zijn dan kan de lucifer over een lijn heenvallen of niet. De kans P dat de lucifer over de lijn is afhankelijk van de afmetingen van de lucifer en van de constante afstand tussen de lijnen. Hiernaast zie je een situatieschets met een aantal standen van de lucifer. Voor het gemak wordt de lucifer opgevat als een lijnstuk met lengte 1. Bereken de kans dat de lucifer niet over een lijn valt als d = 2.

Tip: voer twee variabelen in: x is de afstand van het midden van de lucifer tot de dichtstbijzijnde rechterlijn; a is de hoek die de lucifer maakt met een horizontale lijn. Maak een tekening en stel een voorwaarde voor snijden op.