AANSLUITINGSPROJECT TUE - VO
startpagina ] omhoog ] dyn. modellen downloaden ] opdracht uit dyn. modellen ] [ gedeelte wisk modellen ] software bij dyn. modellen ]

 

Gedeelte uit hoofdstuk 4 van 
Dynamische  modellen

Bij roofdier-prooi-modellen is de groei van populaties aan elkaar gekoppeld. Dat geldt in zekere zin ook bij epidemieŰn.

Veel ziektes worden veroorzaakt door virussen. Die virussen verspreiden zich niet zelf maar worden overgebracht door een drager. Bij het griepvirus is dat een mens. Die persoon is ge´nfecteerd met het virus. Dat betekent niet dat die persoon de ziekte heeft of krijgt. Het lichaam kan namelijk sterk genoeg zijn om het virus te overwinnen. Maar een ge´nfecteerd iemand kan wel iemand anders met het virus besmetten en die persoon kan op zijn beurt wel ziek worden. In feite is er dus sprake van drie populaties;

  1. de populatie die ge´nfecteerd is en wellicht de ziekte krijgt:
    de ge´nfecteerden I.
  2. de ge´nfecteerden die ook ziek zijn: de zieken Z
  3. de (nog) niet ge´nfecteerden die de ziekte (nog) niet hebben: de gezonden G

De vraag bij een epidemie is nu: hoe ontwikkelen de populaties I, Z en G zich?

Dit keer zijn er drie variabelen. De som van de drie aantallen is constant. Dat betekent dat je twee vergelijkingen nodig hebt. In de figuur zie je mogelijke overgangen van een persoon.

Een gezond persoon kan ge´nfecteerd raken (en later ziek), een ge´nfecteerd persoon kan ziek worden. Als je eenmaal ziek bent dan blijf je in die groep. Bij een vrij onschuldig griepepidemie wordt je natuurlijk weer gezond maar dat is een andere toestand dan "gezond" in het schema. Je bent dan immuun geraakt voor dat bepaalde griepvirus.

Een vergelijking voor G

De gezonden kunnen ge´nfecteerd worden door de ge´nfecteerde maar ook door de zieken, deze beide groepen dragen immers het virus. De kans dat je door een ge´nfecteerd iemand wordt ge´nfecteerd is echter veel groter dan door een ziek iemand. Immers zieken blijven vaak ziek in bed liggen terwijl ge´nfecteerden vaak niet eens weten dat ze ge´nfecteerd zijn en gewoon blijven rondlopen.

Voor het gemak kun je aannemen dat de besmetting door zieken verwaarloosbaar klein is. Het aantal gezonden dat ge´nfecteerd raakt kun je evenredig veronderstellen met het product van het aantal gezonden en het aantal ge´nfecteerde. Als er namelijk twee keer zoveel ge´nfecteerden personen rondlopen worden er ook twee keer zoveel gezonden ge´nfecteerd. En dat gebeurt ook bij een twee keer zo groot aantal gezonden. De differentievergelijking wordt onder deze aannamen:

..........

In het onderstaande plaatje staan de grafieken voor G, I en Z . De parameters die daarbij horen zijn a = 0,02, b = 0,03. De beginwaarden zijn G(0) = 9,99 , I(0) = 0,01 en Z(0) = 0 eenheid.

Bij deze waarden van a en b wordt uiteindelijk iedereen ziek. De variabelen groeien naar de evenwichtsoplossing I = 0 , Z = 1 en G = 0.

......