De
natuurlijke getallen
Dat is de verzameling die bestaat uit de getallen 1, 2, 3, 4, 5, .... Die
verzameling wordt aangegeven met N. Als je deze verzameling aanvult met 0
, -1, -2, -3 ... dan krijg je de gehele getallen. notatie Z. De natuurlijke
getallen vormen een deelverzameling van de gehele getallen.
Getaltheorie
De tak van de wiskunde die zich bezighoudt met de eigenschappen van natuurlijke
en gehele getallen.
Deler en
veelvoud
Een natuurlijk getal b is een deler (engels divisor) van een positief
natuurlijk getal a als er een natuurlijk getal k bestaat zodanig dat a = k.b.
Het getal a noem je een veelvoud van b. Als b geen deler is van a dan zeg je
dat a niet deelbaar is door b
Voorbeelden:
· 3 is een deler van 12 want 12 = 4.3
· 13 is een deler van 260 want 260 = 20.13
· 3 is geen deler van 14 want er bestaat geen geheel getal k waarvoor geldt 14 = k.3
· 1 is een deler van 11 want 11 = 11.1
· 11 is een deler van 11 want 11 = 1.11
Delen met rest
3 is geen deler van 14 dus 14 is niet deelbaar door 3. Als je van 14 twee
aftrekt dan kun je wel delen door 3; immers 14 - 2 = 4*3. Het getal 2 is in dit
voorbeeld de rest.
Algemener:
Als a en b natuurlijke getallen zijn en a > b dan is de rest r het kleinste
natuurlijke getal dat je van het getal a moet aftrekken zodanig dat a - r een
veelvoud van b is . Als b een deler van a is dan is de rest gelijk aan 0.
Voorbeelden:
· a = 29 en b = 6 dan is de rest 5 immers 29 = 4*6 + 5
· a = 21 en b = 7 dan is de rest 0 immers 21 = 3*7 + 0
· a = 6 en b = 13 dan is de rest 6 immers 6 = 0*13 + 6
Manipuleren
met resten
De getallen 300 en 80 zijn beide niet deelbaar door bijvoorbeeld 9. De rest van
300 bij deling door 9 is 3, de rest van 80 bij deling door 9 is 8. Immers:
300 = 33*9
+ 3
80 = 8*9 + 8
Hieruit volgt dat 300 + 80 = (33 + 8)*9 + 3 + 8 = 41*9 + 11 = 41*9 + 1*9 + 2= 42*9 + 2. De rest van 380 bij deling van 9 is dus 2.
Deze laatste restberekening kan ook sneller. Als je naar de berekening kijkt
dan zie je dat je kunt volstaan met het optellen van de twee eerdere resten:
3 + 8 = 11 en dat geeft rest 2 bij deling door 9.
Grootste
gemene deler
De grootste gemene deler van twee natuurlijke getallen a en b is het
grootste getal dat deler is van a en van b. De grootste gemene deler wordt
aangenoteerd met ggd(a , b). In het Engels wordt gcd(a , b) gebruikt (greatest
common divisor)
Voorbeelden:
· ggd(11 , 14) = 1
· ggd(15 , 42) = 3
· ggd( 2 , 64) = 2
De grootste gemene deler van meer dan twee getallen is het grootste getal dat deler is van alle getallen
Voorbeelden:
· ggd(3 , 4, 5) = 1
· ggd(6 , 8 , 10) = 2
· ggd( 9 , 12 , 18) = 3
Een belangrijke stelling over de ggd
Als a en b twee natuurlijk getallen zijn met a > b dan geldt ggd(a ,
b) = ggd(a-b , b).
Voorbeeld:
ggd(34 , 8) = ggd(26 , 8) = ggd(18 , 8) = ggd(10 , 8) = ggd(2 , 8) = 2
Zo'n getallenvoorbeeld is natuurlijk geen bewijs. Het bewijs van deze
stelling is niet heel gemakkelijk. Het kan als volgt:
Stel ggd(a , b) = c. Dat betekent dat c een deler is van a en van b. Er bestaan
dus natuurlijke getallen k en l zodat geldt: a = k*c en b = l*c. Hieruit
volgt dat a - b = (k - l)*c en dat betekent dat c een deler is van a - b, dus c
is een deler van a - b en van b.
Nu moet je nog bewijzen dat c de grootste deler van b en a - b is. Stel ggd(a -
b , b) = d en stel d > c. Hieruit volgt dat d een deler is van b en van a -
b. Dus er bestaan natuurlijke getallen p en q zodat geldt: a - b = p*d en
b = q*d. Daaruit volgt echter a = (q + p)*d dus d is ook een deler van a. En
dat is een tegenspraak met ggd(a , b) = c. Want d zou dan een grotere deler zin
van a en b
Hoe bepaal je snel de grootste gemene
deler? Het algoritme van Euclides
De ggd-berekening van 34 en 8 in het voorbeeld hierboven kan nog sneller.
Je kunt namelijk meteen zoveel mogelijk keer 8 van 34 aftrekken: ggd(34 , 8) =
ggd(34 - 4*8 , 8) = ggd(2 , 8) = 2. Deze methode wordt het algoritme van
Euclides genoemd. Het algoritme wordt meestal als volgt opgeschreven
34 = 4*8 + 2
8 = 4*2 + 0 klaar de ggd = 2
Een voorbeeld met grotere getallen. Wat is de ggd van 210 en 57?
Voorbeeld:
210 = 3*57 + 39
57 = 1*39 + 18
39 = 2*18 + 3
18 = 6*3 + 0 klaar de ggd
= 3
Priemgetallen
Priemgetallen zijn positieve, gehele getallen die niet te schrijven zijn als
het product van twee kleinere positieve, gehele getallen. Bijvoorbeeld 15 is
niet priem, want 15 = 3*5 maar 11 is wel priem. Je kunt ook zeggen dat een
priemgetal precies twee positieve delers heeft, namelijk 1 en zichzelf. De
eerste 10 priemgetallen zijn:
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19, 23 , 29
· Een lijst met de allergrootste priemgetallen
Hoofdstelling
getaltheorie
Elk natuurlijk getal groter dan 1 is op eenduidige manier te ontbinden in
priemfactoren. Dat wil zeggen dat je elk getal op precies een manier kunt
schrijven als het produkt van priemgetallen
Voorbeelden:
· 12 = 2*2*3 = 22*3
· 21 = 3*7
· 23 = 23
· 100 = 2*2*5*5 = 22*52