AANSLUITINGSPROJECT TUE - VO
startpagina ] omhoog ] RSA-geheim ] recursief tellen ] [ nulpunten ] vierkleurenprobleem ] negen- elfproef ] tripels ] willekeurige getallen ] beeldbewerking ] lijnen in driehoek ] Platonische lichamen ] rijden maar ] cont kansen ] dobbelen ] De wet van Benford ] rozen ] superellipsen van Piet Hein ]

 

Praktische Opdracht 
Numeriek nulpunten bepalen

Probleemomschrijving
In de wiskunde spelen vergelijkingen een belangrijke rol. In de afgelopen jaren heb je verschillende methoden geleerd waarmee je vergelijkingen kunt oplossen. Bijvoorbeeld

Na "kwadrateren" krijg je een kwadratische vergelijking en gelukkig bestaat er een vast recept waarmee je dat type vergelijking kunt oplossen:

x2 - 13x + 36 = (x - 9).(x - 4)
dus x = 9 of x = 4

De oplossing x = 4 vervalt omdat 4 niet voldoet aan de oorspronkelijke vergelijking. De oplossing x = 9 kun je trouwens ook "snel" aflezen in de bijbehorende grafiek.

Maar veel vergelijkingen kun je niet of niet eenvoudig oplossen. Voorbeelden:

cos(x) = x
x6 - x +1=0
x.log(x) = 20.sin(x)

Toch bezitten die vergelijkingen oplossingen. Dat zie je in de bijbehorende grafieken.

Natuurlijk kun je de oplossingen schatten als je in de grafiek kijkt. Maar dat lukt niet als je de oplossing op bijvoorbeeld 10 decimalen nauwkeurig wilt hebben.

Je weet waarschijnlijk ook al hoe je met de grafische rekenmachine dat nulpunt benadert. De "knop" waarmee dat bijvoorbeeld TI83 kan heet roots (in het menu calc). Je krijgt dan een benadering van het nulpunt op 12 decimalen.

Maar wat gebeurt er eigenlijk als je op die knop drukt? En hoe kun je nog meer decimalen vinden? Het antwoord op die vraag is het onderwerp van deze praktische opdracht. Meer algemeen luidt de vraag: hoe bepaal je numeriek nulpunten?

Voor wie
profiel NG/NT

Omvang
8 slu

Beginkennis
Domein Bb; subdomein afgeleide functies:

  • Je moet de vergelijking van een raaklijn kunnen opstellen;
  • Je moet weten hoe je een functie lineair benadert;

ICT:

  • Je moet met internet en applets kunnen omgaan.

Korte opdrachten ter oriŽntatie
a) De vergelijking x3 - 12x - 5 = 0 heeft drie oplossingen. Dat kun je aantonen zonder de grafiek te tekenen. Hoe?
b) Bepaal de raaklijn aan de grafiek van de functie f met voorschrift f(x) = x3 + 2x - 1 in het punt (1 , 2).

Wat wordt er van je verwacht?
Eerst maak je de twee bovenstaande opgaven. Daarna bestudeer je de theorie over het numeriek bepalen van nulpunten. Bij het digitale studiemateriaal horen programma's die de methoden in beeld brengen en waarmee geŽxperimenteerd moet worden. Tenslotte bepaal je met alle drie de methoden de oplossingen van de drie bovenstaande vergelijkingen.

Studiemateriaal
Een fraaie site met uitleg over de numerieke methoden en met demonstraties van de diverse methoden is te vinden via link naar vergelijkingen oplossen