Rekenen met resten

Hieronder vind je uitleg over begrippen die een rol spelen bij het maken van "willekeurige" getallen. Bestudeer de uitleg en maak de vijf opgaven. Daarna kun je verdergaan naar de aangegeven pagina 

Deler en veelvoud
Een natuurlijk getal b is een deler (engels divisor) van een positief natuurlijk getal a als er een natuurlijk getal k bestaat zodanig dat a = k.b. Het getal a noem je een veelvoud van b. Als b geen deler is van a dan zeg je dat a niet deelbaar is door b

                Voorbeelden:

         3 is een deler van 12 want 12 = 4.3

         13 is een deler van 260 want 260 = 20.13

         3 is geen deler van 14 want er bestaat geen geheel getal k waarvoor geldt 14 = k.3

         1 is een deler van 11 want 11 = 11.1

         11 is een deler van 11 want 11 = 1.11

Delen met rest
3 is geen deler van 14 dus 14 is niet deelbaar door 3. Als je van 14 twee aftrekt dan kun je wel delen door 3; immers 14 - 2 = 4*3. Het getal 2 is in dit voorbeeld de rest. 

Algemener:
Als a en b natuurlijke getallen zijn en a > b dan is de rest r het kleinste natuurlijke getal dat je van het getal a moet aftrekken zodanig dat a - r een veelvoud van b is . Als b een deler van a is dan is de rest gelijk aan 0

                Voorbeelden:

         a = 29 en b = 6 dan is de rest 5 immers 29 = 4*6 + 5

         a = 21 en b = 7 dan is de rest 0 immers 21 = 3*7 + 0

         a = 6 en b = 13 dan is de rest 6 immers 6 = 0*13 + 6

Restrekenen
Als je tijdsduren berekent dan bereken je eigenlijk altijd een rest. Als het bijvoorbeeld 16.00 uur is dan is het over 13 uur precies 5.00 uur. Immers 16 + 13 = 29 en 29 - 24 = 5 uur. Je berekent dus steeds de rest bij deling door 24. 

Deze manier van rekenen heet in de wiskunde ook wel  klokrekenen of modulo-rekenen. In dit geval is 24 het zogenaamde modulogetal. Je rekent in dit geval eigenlijk alleen maar met de getallen 0 , 1, 2, ... 23. Als je bij je berekeningen antwoorden krijgt die buiten de verzameling {0 , 1, 2, ... 23} liggen, moet je bij het antwoord net zolang 24 erbij tellen of eraf trekken tot het antwoord weer in {0 , 1, 2, ... 23} zit. We schrijven in plaats van = om in de gaten te houden dat we aan het klokrekenen zijn. Op het einde van de regel schrijven we "(mod 24)" om de modulus (in dit geval 24) te onthouden.

Voorbeelden:
13 + 21 = 34 10 (mod 24) want  34 en 10 zijn hetzelfde modulo 24,
6*6 = 36 12 (mod 24) want 36 en 12 zijn hetzelfde modulo 24,
25 = 32 8 (mod 24)  want 32 en 8 zijn hetzelfde modulo 24.

Je kunt ook een ander modulusgetal m nemen. Steeds moet je de rest bepalen als je een natuurlijk getal x deelt door m.

Voorbeelden:
8 + 9 = 17 5 (mod 12)            want  17 en 5 zijn hetzelfde modulo 12
3*9 = 27 5 (mod 11)              want 27 - 5  is een veelvoud van 11
26 = 64 0 (mod 8)                   want 64 is een veelvoud van 8
3*4 = 12 0 (mod 12)               want 12 is een veelvoud van 12

Uit het laatste voorbeeld volgt ook dat bij modulo-rekenen het product van twee getallen gelijk kan zijn aan 0. Dat verschijnsel kan optreden bij elk samengesteld getal m.

Voorbeelden:
5*20 = 100 0 (mod 50)
4*7 = 28 0 (mod 14)

Je kunt ook met negatieve gehele getallen werken. Je moet dan wel in de definities van deler en veelvoud ook negatieve gehele getallen toestaan.  De delers van 8 worden dan 1, 2, 4, 8 en -1, -2, -4 en -8. En -8 is een veelvoud van 8 omdat -8 = -1*8.


Voorbeelden:
-3  5 (mod 8)                    
99  -1 (mod 100)

Aan het laatste voorbeeld zie je de zin van het rekenen met negatieve getallen. Je kunt bij vermenigvuldigingen en machtsverheffen sneller met -1 rekenen dan met 99.  

Voorbeelden:                
99*98*97  (-1)*(-2)*(-3)  -6   94 (mod 100)
1999*2001  (-1)*1  -1 1999 (mod 2000)

Er bestaan nog veel meer fraaie regels en stellingen. Modulo-rekenen  is een belangrijk onderdeel van de wiskunde. Het wordt in veel deelgebieden en toepassingen van de wiskunde gebruikt. O.a. bij het bepalen van randomgetallen!!! 

Een paar opgaven waarin je o.a. kunt laten zien dat je de bovenstaande uitleg begrepen hebt: 

opgave 1
a) Bepaal alle positieve delers van 60
b) Bepaal alle positieve delers van 323 (= 17*19)
c) Bepaal het totaal
aantal delers van 1292 (= 2*2*17*19)

opgave 2
Bereken zonder GR en/of computer
a) 13 + 14 + 15 + 16 + 17 (mod  15)
b) (12*8) + (5*7) (mod 13)
c) 19992001 (mod 2000)

opgave 3
a) Vul de onderstaande tabel verder in

k

1

2

3

4

5

6

..

..

..

..

..

..

..

2k mod(9)

2

4

8

7

..

..

..

..

..

..

..

..

..

b) Bepaal m.b.v. de tabel 2123 mod(9)
c) Bepaal 2123 mod(7)
d) Bepaal de laatste twee cijfers van 2123

opgave 4
Modulo-berekeningen kun je ook in een spreadsheetprogramma uitvoeren. In Excel bestaat daarvoor de functie REST (in de Engelstalige versie heet de functie MOD)

a) Bereken met Excel 1234*4321 (mod 56789)

De vergelijking  x2 + 5x + 9
0 mod (101) kan maximaal 101 oplossingen hebben. Maar 1 is geen oplossing. Immers 1 + 5 + 9 = 14 mod (101). Je kunt alle oplossingen vinden door x = 0, x = 1 .. , x = 100 in te vullen. Een rekenintensief karweitje!

b) Bepaal daarom met Excel alle oplossingen van de vergelijking x2 + 5x + 9 0 (mod 101)

Naar de pagina met uitleg over de lineaire-congruentiegenenerator