Author: Administrator
Last saved by: Di Bucchianico
Company: TU/e

Uitwerkingen

Elke opgave 10 punten; bij opgaven 1 , 2 en 5: 5 punten per onderdeel; bij opgave 4 2 punten per onderdeel

1. a)  In Statgraphics kiezen we Describe -> Numeric Data -> One-Variable Analysis en dan de optie Confidence Intervals.

Confidence Intervals for nitraation
-----------------------------------
95.0% confidence interval for mean: 0.627333 +/- 0.0164101   [0.610923;0.643743]
95.0% confidence interval for standard deviation: [0.0216949;0.0467336]

b) Er moet in ieder geval gekeken worden naar een Box-and-Whisker plot (1 pt), normal probability plot (1pt), density trace (1 pt), toets op normaliteit ( Shapiro-Wilks) (1 pt). Aanbeveling verdient het om ook te kijken naar grafiek van de data uitgezet tegen het waarnemingsnummer (met de aanname dat dit de echte volgorde in de tijd van de waarnemingen was) met eventueel toets op correlatie (Durbin-Watson) (1 bonuspunt) en Describe -> Numeric Data -> Outlier Identification met name de toets van Dixon (1 bonuspunt). Conclusie: er is minstens 1 uitbijter, normaliteit dient verworpen te worden, dus intervallen bij a) zijn niet correct: 1 pt.

N.B. Bonuspunten kunnen er niet voor zorgen dat het maximaal aantal punten (5) wordt overschreden.

2. a) 2 pt voor het omschrijven als rho = p/RT. Kwadraten van variatiecoëfficiënten tellen bij benadering op als het verband tussen de variabelen beschreven kan worden met vermenigvuldigen en delen, dus hier is het kwadraat van de variatiecoëfficiënt gelijk aan 4/298^2 + 0,01^2 = 0,000145. De CV is dus 1,2 %

b) 2 pt voor het omschrijven als rho = p/RT. Kwadraten van variatiecoëfficiënten tellen bij benadering op als het verband tussen de variabelen beschreven kan worden met vermenigvuldigen en delen, dus 0,005^2 moet groter zijn dan 1/298^2 + CV(druk)^2. Oplossen levert dat CV(druk) maximaal 0,37% mag zijn.

Opmerking: als de varianties zijn uitgerekend ipv de variatiecoëfficiënt, dan hiervoor max 2 punten per onderdeel geven (naast de punten voor het omschrijven van de relatie).

3. Opmerken dat lineair model niet past via grafiek waarnemingen of residuenanalyse: 2 pt.
   Volledige analyse van een (niet noodzakelijk juist) model: significantie model: 1 pt, normaliteit residuen: 1 pt voor grafisch onderzoek, 1 pt voor toets (Shapiro-Wilks), invloedrijke punten + uitzonderlijke residuen: 1 pt, algemene vorm residuen (gelijkheid van varianties): 1 pt, correlatie (Durbin-Watson): 1 pt.
Correcte identificatie model van de vorm Y = a X^b: 2 pt. Voor het model Y = a + b/X: 1 pt.

4.a)  Hier dient 3 keer een enkelvoudige regressie toegepast te worden, 1 keer met D10, 1 keer met D50 en 1 keer met D90 als onafhankelijke variabele (1 pt). In alle drie de gevallen is het model significant (p-waarde praktisch 0). (1 pt)

b) Er dient een meervoudige regressie-analyse uitgevoerd te worden. (1 pt). D10 en D90 zijn nu significant, D50 niet. (1 pt)

c) De verklaring is dat er een bijna-lineair verband is tussen de variabelen D10, D50 en D90. Dit is al te zien uit eenvoudige grafieken waarin 2 van de 3 variabelen tegen elkaar uit gezet worden: er ontstaat een wolk die om een rechte lijn ligt. Een andere manier om dit te zien is het bekijken van de correlatiematrix bij een meervoudige lineaire regressie met deze 3 onafhankelijke variabelen: er zijn hoge waarden (1pt). Het verschijnsel dat er een bijna-lineair verband tussen onafhankelijke variabelen is heet multicollineariteit (1 pt)

d) Er dienen een of meerdere criteria aangegeven te worden wat het beste model is: beste Cp, beste (aangepaste) R^2 of laagste MSE (1 pt). Het beste model kan door Statgraphics berekend worden door Special -> Advanced Regression -> Regression Model Selection te kiezen. (1 pt). Indien alleen achterwaartse of voorwaartse regressie gebruikt wordt: (1 pt). 
Er is geen puntenaftrek als alleen D10, D50 en D90 meegenomen worden in het model ipv ook alle 2-orde interacties mee te nemen (ivm de vraagstelling)

e) Volledige analyse van een (niet noodzakelijk juist) model: significantie model: 1/2 pt (er moet opgemerkt worden dat R^2 laag is), normaliteit residuen: 1/2, invloedrijke punten + uitzonderlijke residuen: 1/2 pt, correlatie (Durbin-Watson): 1/2 pt.

5) Startwaarden   sigma_0 is beginwaarde (moeilijk te bepalen); sigma_oneindig is horizontale asymptoot: samen 1 pt, startwaarde voor k bepalen uit 1/(sigma_t - sigma_oneindig)-(O-E)/((O-E)*sigma_0-sigma_oneindig) intrinsiek lineair model. 2pt
   Analyse model: stopcriterium: 1 pt, meerdere beginwaarden geprobeerd: 1 pt, normaliteit residuen: 1 pt, invloedrijke punten: 1 pt, Durbin-Watson: 1 pt
   Vraag a: er is een duidelijk patroon, dus er zijn theoretische aspecten die niet goed zijn meegenomen 1 pt
   Vraag b: Het model fit goed, dus het kan wel gebruikt worden voor voorspellingen. 1 pt