Symmetrie in natuur, wetenschap en kunst
Waar vind je symmetrie?
Je vindt symmetrie overal: in de natuur, de wetenschap, de kunst, de architectuur, etc.
- Linksboven: een bloem;
- Rechtboven: tweedimensionale weergave van een 8-dimensionaal wortelstelsel voor $E_8$ bestaande uit 240 hoekpunten. Zie www.kennislink.nl/publicaties/superberekening-aan-e8
- Rechtsonder: Maurits Eschers Circle limit, hoort bij `hyperbolische meetkunde'.
- Linksonder: de Taj Mahal in India, spiegelsymmetrie.
Algebraïsche symmetrie
Symmetrie uit zich niet alleen visueel, ook in de algebra vind je vormen van symmetrie.
- Als je $a_1$ en $a_2$ verwisselt in $$ (x-a_1)(x-a_2) $$ dan verandert er uiteindelijk niets: $(x-a_1)(x-a_2)=(x-a_2)(x-a_1)$. Werk je $(x-a_1)(x-a_2)$ uit, dan zie je datzelfde op een andere manier: \[ x^2 - (a_1+a_2)x+a_1\, a_2 . \] De co\"effici\"ent bij $x$ en de constante term zijn `symmetrisch'.
- Bij hogeregraads polynomen zie hetzelfde verschijnsel: \[ (x-a_1)(x-a_2)(x-a_3) = x^3 - (a_1 + a_2 + a_3)x^2 + (a_2 a_3 + a_1 a_3 + a_1 a_2 )x - a_1 \, a_2 \, a_3 \]
- De vergelijking $x^4+2x^3 + 2x + 1=0$ heeft ook iets symmetrisch. Zo zie je dat misschien beter: \[ x^2 + 2x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}=0. \]
Symmetrie zoals je hier ziet kan gebruikt worden om te begrijpen hoe je polynoomvergelijkingen wel of niet kunt oplossen.