Opdrachten
Opdracht 1 .
TetraederIn deze opgave bekijken we de tetraeder (regelmatig viervlak). De zijvlakken zijn gelijkzijdige driehoeken. De groep van symmetrieën noemen we $G$.
- Nummer de hoekpunten en bepaal de baan van hoekpunt $1$. Geef symmetrieën (permutaties) waarmee je $1$ in de andere hoekpunten van de baan kunt overvoeren.
- Welke symmetrieën zijn mogelijk als je hoekpunt $1$ vastlaat?
- Hoeveel symmetrieën zijn er dus? Hoeveel permutaties zijn er sowieso mogelijk bij $4$?
Opdracht 2 .
OctaederEen regelmatig $8$-vlak (octaëder) is opgebouwd uit $8$ congruente gelijkzijdige driehoeken. In deze opgave bestuderen we de symmetrieën $G$ van de octaeder.
- Geef de hoekpunten een nummer ($1$ tot en met $6$) en bepaal de baan van hoekpunt $1$.
- Als een symmetrie hoekpunt $1$ vastlaat, dan blijft er nog een hoekpunt vast? Welk?
- De symmetrieën die $1$ vastlaten geven we aan met $G_1$.
- Waarom bevat $G_1$ evenveel symmetrieën als een vierkant?
- Bepaal het aantal symmetrieën van een octaeder.
- De zwaartepunten van de zijvlakjes van een octaeder zijn hoekpunten van een bekend figuur. Kun je hiermee het antwoord op het vorige onderdeel begrijpen?
Opdracht 3 .
IcosaederEen icosaeder is een regelmatig $20$-vlak. De zijvlakken bestaan uit (congruente) gelijkzijdige driehoeken.
- Nummer de zijvlakken. Overtuig je ervan dat je een zijvlak op de plaats van elk ander zijvlak kunt krijgen.
- Als je \'e\'en zijvlak op de plaats laat, waarom blijft dan ook het tegenoverliggende zijvlak vast?
- Beredeneer dat er $120$ symmetrieën zijn van de icosaeder.
Opdracht 4 .
De kubus revisitedEen kubus heeft 48 symmetrieën. We willen graag symmetrieën aanwijzen waaruit al deze symmetrieën te maken zijn. Zijn $g_1, \ldots , g_m$ deze permutaties, dan noteren we de groep van symmetrieën die je daarmee kunt maken als \[ \langle g_1, \ldots , g_m \rangle \]
- Probeer: $H=\langle (1234)(5678)\rangle$. Waarom zitten hier slechts $4$ symmetrieën in?
-
Neem $H=\langle (1234)(5678), (254)(368)\rangle$. Wat stellen
de $2$ genoemde permutaties meetkundig voor: spiegeling, rotatie
of iets anders? Gebruik alleen symmetrieën uit $H$ in deze opgave!
- Bepaal de baan van hoekpunt $1$. Hoe groot is deze baan?
- Als je $1$ vastlaat, in welke hoekpunten kun je $2$ dan nog overvoeren?
- Als je $1$ en $2$ vastlaat, waarom blijven $7$ en $8$ dan ook vast?
- De enige symmetrie ongelijk de identiteit die $1$, $2$, $7$ en $8$ vastlaat is een spiegeling. Kan die in $H$ zitten?
- Laat zien dat $H$ niet $48$ maar $24$ symmetrieën bevat.
- Verzin een symmetrie $g$ zodat $\langle (1234)(5678), (254)(368), g\rangle$ precies $48$ symmetrieën bevat.
Opdracht 5 .
HyperkubusWe berekenen het aantal symmetrieën van de hyperkubus in $\mathbb{R}^4$ door te kijken wat er gebeurt met de `zijkubussen'. Houd de overeenkomst met kubussen in de gaten.
- Hoeveel zijkubussen zijn er? Overtuig jezelf ervan dat alle zijkubussen in \'e\'en baan zitten.
- Als je \'e\'en zijkubus vasthoudt, houd je nog symmetrieën van de tegenoverliggende kubus over. Dat zijn er $48$.
- Concludeer dat het aantal symmetrieën gelijk is aan $2^4 \cdot 4! = 384$.
- Wat zou het aantal symmetrieën van een hyperkubus in $n$ dimensies wel eens kunnen zijn?
Opdracht 6 .
De Petersen graafOnderzoek de symmetrieën van de Petersen graaf. Gebruik eventueel onderstaande tool.
Opdracht 7 .
In een van de opgaven over kubussen heb je zogenaamde voortbrengers gevonden. Probeer voortbrengers te vinden bij de tetraeder, octaeder, icosaeder. Gebruik hiervoor de software: je voert een aantal permutaties in, en vraagt naar de orde van de groep die uit alle combinaties hiervan bestaat.