TEST

Opdrachten

Opdracht 1 .

Tetraeder

In deze opgave bekijken we de tetraeder (regelmatig viervlak). De zijvlakken zijn gelijkzijdige driehoeken. De groep van symmetrieën noemen we $G$.

  • Nummer de hoekpunten en bepaal de baan van hoekpunt $1$. Geef symmetrieën (permutaties) waarmee je $1$ in de andere hoekpunten van de baan kunt overvoeren.
  • Welke symmetrieën zijn mogelijk als je hoekpunt $1$ vastlaat?
  • Hoeveel symmetrieën zijn er dus? Hoeveel permutaties zijn er sowieso mogelijk bij $4$?

Opdracht 2 .

Octaeder

Een regelmatig $8$-vlak (octaëder) is opgebouwd uit $8$ congruente gelijkzijdige driehoeken. In deze opgave bestuderen we de symmetrieën $G$ van de octaeder.

  • Geef de hoekpunten een nummer ($1$ tot en met $6$) en bepaal de baan van hoekpunt $1$.
  • Als een symmetrie hoekpunt $1$ vastlaat, dan blijft er nog een hoekpunt vast? Welk?
  • De symmetrieën die $1$ vastlaten geven we aan met $G_1$.
  • Waarom bevat $G_1$ evenveel symmetrieën als een vierkant?
  • Bepaal het aantal symmetrieën van een octaeder.
  • De zwaartepunten van de zijvlakjes van een octaeder zijn hoekpunten van een bekend figuur. Kun je hiermee het antwoord op het vorige onderdeel begrijpen?

Opdracht 3 .

Icosaeder

Een icosaeder is een regelmatig $20$-vlak. De zijvlakken bestaan uit (congruente) gelijkzijdige driehoeken.

  • Nummer de zijvlakken. Overtuig je ervan dat je een zijvlak op de plaats van elk ander zijvlak kunt krijgen.
  • Als je \'e\'en zijvlak op de plaats laat, waarom blijft dan ook het tegenoverliggende zijvlak vast?
  • Beredeneer dat er $120$ symmetrieën zijn van de icosaeder.

Opdracht 4 .

De kubus revisited

Een kubus heeft 48 symmetrieën. We willen graag symmetrieën aanwijzen waaruit al deze symmetrieën te maken zijn. Zijn $g_1, \ldots , g_m$ deze permutaties, dan noteren we de groep van symmetrieën die je daarmee kunt maken als \[ \langle g_1, \ldots , g_m \rangle \]

  • Probeer: $H=\langle (1234)(5678)\rangle$. Waarom zitten hier slechts $4$ symmetrieën in?
  • Neem $H=\langle (1234)(5678), (254)(368)\rangle$. Wat stellen de $2$ genoemde permutaties meetkundig voor: spiegeling, rotatie of iets anders? Gebruik alleen symmetrieën uit $H$ in deze opgave!
    • Bepaal de baan van hoekpunt $1$. Hoe groot is deze baan?
    • Als je $1$ vastlaat, in welke hoekpunten kun je $2$ dan nog overvoeren?
    • Als je $1$ en $2$ vastlaat, waarom blijven $7$ en $8$ dan ook vast?
    • De enige symmetrie ongelijk de identiteit die $1$, $2$, $7$ en $8$ vastlaat is een spiegeling. Kan die in $H$ zitten?
    • Laat zien dat $H$ niet $48$ maar $24$ symmetrieën bevat.
  • Verzin een symmetrie $g$ zodat $\langle (1234)(5678), (254)(368), g\rangle$ precies $48$ symmetrieën bevat.

Opdracht 5 .

Hyperkubus

We berekenen het aantal symmetrieën van de hyperkubus in $\mathbb{R}^4$ door te kijken wat er gebeurt met de `zijkubussen'. Houd de overeenkomst met kubussen in de gaten.

  • Hoeveel zijkubussen zijn er? Overtuig jezelf ervan dat alle zijkubussen in \'e\'en baan zitten.
  • Als je \'e\'en zijkubus vasthoudt, houd je nog symmetrieën van de tegenoverliggende kubus over. Dat zijn er $48$.
  • Concludeer dat het aantal symmetrieën gelijk is aan $2^4 \cdot 4! = 384$.
  • Wat zou het aantal symmetrieën van een hyperkubus in $n$ dimensies wel eens kunnen zijn?

Opdracht 6 .

De Petersen graaf

Onderzoek de symmetrieën van de Petersen graaf. Gebruik eventueel onderstaande tool.

Opdracht 7 .

In een van de opgaven over kubussen heb je zogenaamde voortbrengers gevonden. Probeer voortbrengers te vinden bij de tetraeder, octaeder, icosaeder. Gebruik hiervoor de software: je voert een aantal permutaties in, en vraagt naar de orde van de groep die uit alle combinaties hiervan bestaat.