Rozetten
De verschillende symmetrieën van het vlak, zoals besproken in de vorige sectie, zul je nu gebruiken om de tekeningen en etsen van Escher, het honingraat en andere symmetrische plaatjes te analyseren.
Als $F$ een meetkundige figuur in het vlak is, dan heet een symmetrie $\sigma$ van het vlak een symmetrie van $F$, als voor elk punt $A$ van de figuur $F$ geldt dat $\sigma(A)$ ook een punt van $F$ is.
De symmetriegroep van een meetkundig figuur in het vlak is de verzameling van alle symmetrieën van de figuur.
Voorbeeld 1
De symmetriegroep van een cirkel bestaat uit alle spiegelingen in een lijn door het middelpunt en alle rotaties rond dit middelpunt.
Voorbeeld 2
De symmetriegroep van het vierkant bevat vier draaiingen; de draaiingen over $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$ en $270^\circ$ rond het snijpunt van de diagonalen van het vierkant. Deze symmetriegroep bevat verder vier spiegelingen. De spiegelassen zijn de twee diagonalen en de twee lijnen die overstaande zijden doormidden delen.
De vier spiegelassen in het vierkant.
Je onderzoekt nu een aantal symmetriegroepen.
Rozetten
Een rozet is een figuur in het vlak, waarvan alle symmetrieën een gezamenlijk vast punt hebben. Het vaste punt noem je het centrum van symmetrie.
De symmetriegroep van een rozet bestaat dus enkel uit draaiingen en spiegelingen en bevat geen translaties.
Uit de twee bovenstaande voorbeelden volgt, dat zowel de cirkel als ook het vierkant een rozet zijn. De cirkel is een rozet met oneindig veel symmetrieën, het vierkant een rozet met precies 8 symmetrieën.
 |
 |
 |
Drie rozetten
Als de symmetriegroep van een rozet eindig is, dan kun je de volgende situaties onderscheiden.
- De symmetriegroep bevat alleen maar draaiingen. Zij $\sigma$ nu de draaiing met de over de kleinste positieve hoek van $\alpha$ graden in de symmetriegroep. Dan is $\sigma^n$, de draaiing over $n\alpha$ graden, ook een symmetrie van de rosette. Omdat de rosette slecht eindig veel symmetrieën kent, geldt dat $\alpha$ een deler van $360$ moet zijn en is elke symmetrie een macht van $\sigma$. Stel $n=\frac{360}{\alpha}$, dan bevat de symmetriegroep precies $n$ draaiingen.
- De symmetriegroep bevat spiegelingen. Als de groep maar één spiegeling bevat, dan bestaat ze uit deze spiegeling en de identiteit, dat is de afbeeldingen die alle punten op de plaats laat. Als de groep tenminste twee spiegelingen bevat, dan zij $\alpha$ de kleinste positieve hoek tussen twee spiegelingassen $\ell$ en $m$ zeg. Het product van de twee bijbehorende spiegelingen is een draaiing over een hoek $2\alpha$. De symmetriegroep bevat dan alle draaiingen over een hoek die een veelvoud van $2\alpha$ is (en $\alpha$ deelt dus $180$) en alle spiegelingen in assen die door het centrum van de rosette gaan en een hoek met $\ell$ maken die een veelvoud van $\alpha$ is. Als je $n$ gelijk stelt aan $\frac{360}{\alpha}$, dan bevat de symmetriegroep precies $n$ spiegelingen en $n$ draaiingen.
Spiegelingen van een regelmatige $n$-hoek.
Opdracht 1
Welk van volgende logo's heeft alleen draaisymmetrie?
Kun je ook het totaal aantal symmetrieën in de symmetriegroep van elk van deze logo's bepalen?
Opdracht 2
Teken de spiegelassen in het volgende plaatje.
Spiegelingen van een rozet. (Click om te openen.)