Spiegelingen in het vlak
Spiegelingen
Zoals je al in de vorige secties heb kunnen zien, kun je de symmetrieën van het vlak opdelen in drie types:
- Translaties of verschuivingen,
- Draaiingen en
- Spiegelingen
Spiegelingen zijn daarbij de "sterkste" symmetrieën. De andere transformaties kunnen gemaakt worden met behulp van alleen spiegelingen.
Om een verschuiving over een vector $v$ te verkrijgen, neem je de spiegeling $\sigma$ in de lijn $l$ loodrecht op de richting van $v$ en voert die uit na de spiegeling $\tau$ in de lijn $m$, die je krijgt door $l$ over de vector $\frac{1}{2}v$ te verschuiven.
Een draaiing over een hoek $\alpha$ rond een punt $A$ is ook te schrijven als het product van twee spiegelingen. Neem twee lijnen door $A$ die een hoek $\frac{\alpha}{2}$ met elkaar maken. Na elkaar spiegelen in deze lijnen levert de gezochte draaiing op.
Spiegelingen kun je echter niet maken met alleen maar verschuivingen en draaiingen. Want, zowel een draaiing als ook een verschuiving verandert de oriëntatie van een figuur niet, terwijl een spiegeling dat wel doet!
Je zegt dat een symmetriegroep van een figuur wordt voorgebracht door spiegelingen, als elke symmetrie in deze symmetriegroep te schrijven is als een product van spiegelingen uit de groep.
Je zult nu onderzoeken welke behangpatronen een symmetriegroep hebben, die wordt voortgebracht door spiegelingen.
Opdracht 1
Stel $\sigma$ is een spiegeling in de lijn $\ell$ en $\tau$ een willekeurige symmetrie van het vlak. Laat zien dat $\tau\sigma\tau^{-1}$ een spiegeling in de lijn $\tau(\ell)$ is.
Symmetriegroepen voortgebracht door spiegelingen
Als we de spiegellijnen van alle spiegelingen in een symmetriegroep van een discrete behangpatroon nemen, dan delen deze lijnen het vlak op in kleine stukjes. Een gebied dat wordt ingesloten, maar niet doorsneden door spiegellijnen noemen we een fundamentaalgebied. Je kunt de symmetriegroep bestuderen door uit te zoeken hoe deze fundamentaalgebieden er uitzien. Je bekijkt nu eerst de gevallen waarin zo'n fundamentaalgebied onbegrensd is.
Stel $F$ is een fundamentaal gebied. Als $F$ door slechts één lijn wordt begrensd, dan bestaat het behangpatroon uit slechts twee (onbegrensde) delen.
Wordt $F$ door twee lijnen begrensd, dan zijn deze lijnen parallel, of snijden in een punt. In het eerste geval wordt het vlak opgedeeld in stroken, in het tweede geval maken de lijnen een hoek van $\frac{\pi}{n}$ radialen voor zekere $n\geq 2$ en wordt het vlak opgedeeld in $2n$ oneindige "taartpunten". De bijbehorende spiegelingen zijn de symmetrieën van een regelmatige $n$-hoek.
Onbegrensde fundamentaalgebieden.
Nu neem aan dat $F$ door tenminste drie lijnen begrensd wordt, maar nog steeds oneindig groot is. In dit geval moeten twee van de lijnen parallel lopen en staat de derde lijn hier loodrecht op. (Ga na waarom!)
Hiermee heb je alle gevallen behandeld, waarin $F$ onbegrensd is. Eigenlijk hebben we hier steeds te maken met symmetriegroepen van randversieringen en van rozetten.
Bekijk nu het geval waarin $F$ begrensd is. In dit geval is $F$ een $k$-hoek.
In elke hoekpunt $A$ van $F$ komen dan twee spiegellijnen $l$ en $m$ samen. De hoek tussen $l$ en $m$ is gelijk aan $\frac{\pi}{n}$ radialen voor zekere $n\geq 2$. De hoek $\alpha$ is immers de kleinste hoek tussen twee spiegellijnen door het punt $A$.
Deze hoek is dus recht of scherp. Maar, dat forceert dat $F$ een vierhoek of een driehoek is. Probeer $F$ maar eens te tekenen.
Een tekening is echter geen bewijs. Hieronder volgt een bewijs voor die uitspraak.
Lemma
De som van de hoeken in een $k$-hoek, met $k\geq 3$ is gelijk aan $(k-2)\pi$.
Bewijs
De som van de drie hoeken van een driehoek is gelijk aan $180^\circ$ oftewel $\pi$ radialen. Dus voor $k=3$ is het lemma waar.Neem nu aan dat $k>3$.
Je laat nu zien dat als de uitspraak van het lemma waar is voor alle veelhoeken met minder dan $k$ hoekpunten, dan is de uitspraak ook waar voor veelhoeken met $k$ hoekpunten.
Dus neem aan, dat je het lemma al hebt bewezen voor veelhoeken met minder dan $k$ hoekpunten.
Zij $V$ dan een $k$-hoek. Verbind twee hoekpunten in $V$, zodat je $V$ opdeelt in twee kleinere veelhoeken $V_1$ en $V_2$, waarbij het aantal hoekenpunten van $V_1$ gelijk is aan $k_1>2$ en van $V_2$ gelijk is aan $k_2>2$. Dan geldt $k=k_1+k_2-2$.
Deel een $k$-hoek in twee delen.
Volgens de aanname is in de kleinere veelhoek $V_1$ de som van de hoeken gelijk aan $(k_1-2)\pi$. Net zo is in $V_2$ de som van de hoeken gelijk aan $(k_2-2)\pi$.
De som van de hoeken in $V$ is dus gelijk aan $(k_1-2)\pi+(k_2-2)\pi=(k_1+k_2-4)\pi=(k-2)\pi.$
Combineer je dit nu met het feit dat voor $k=3$ het lemma bewezen is, dan vind je dat het lemma waar is voor $k=4$, en dan ook voor $k=5$ enz. Je vindt dat het lemma waar is voor elke $k\geq 3$.
Een bewijs zoals je hierboven ziet, noem je een bewijs met inductie.
Met behulp van het lemma vind je nu
Stelling
Een eindig fundamentaalgebied is een rechthoek of een driehoek met hoeken $\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}$ en $\frac{\pi}{4}$, een driehoek met hoeken $\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}$ en $\frac{\pi}{6}$, of een driehoek met hoeken $\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}$ en $\frac{\pi}{3}$.
Bewijs
Zoals je al hierboven kon zien is $F$ een $k$-hoek met $k\geq 3$ en alleen maar rechte of scherpe hoeken. De som van alle hoeken van $F$ is dus ten hoogste $k\frac{\pi}{2}$. Gelijkheid geldt alleen als alle hoeken recht zijn. Volgens het lemma is de som van de hoeken echter gelijk aan $(k-2)\pi$. Dus $k-2\leq \frac{k}{2}$ en $k\leq 4$.
Hieruit volgt dat $k=4$ en alle hoeken zijn recht, of $k=3$.
Neem aan $k=3$. De drie hoeken van $F$ hebben dan grootte $\frac{\pi}{p}, \frac{\pi}{q}$ en $\frac{\pi}{r}$, waarbij $p\geq q\geq r$ gehele getallen groter dan $1$ zijn. Omdat de som van de drie hoeken gelijk is aan $\pi$, vind je dat $(p,q,r)=(6,3,2)$, $(p,q,r)=(4,4,2)$ of $(p,q,r)=(3,3,3)$. Dit bewijst de stelling.
Drie onbegrensde fundamentaalgebieden.
Herhaald toepassen van de spiegelingen in de randen van het fundamentaalgebied $F$ geeft een behangpatroon dat het hele vlak vult met copieën van $F$. Maar, dit impliceert dat alle fundamentaal gebieden dezelfde vorm als $F$ hebben.
Elk behangpatroon waarvoor geldt dat de symmetriegroep is voorgebracht door spiegelingen, kun je dus maken door een fundamentaalgebied zoals we hierboven zijn tegengekomen te nemen, dat te vullen met een figuur en vervolgens herhaald te spiegelen in de randen van het fundamentaal gebied.
Dit lijdt dan ook tot de volgende stelling:
Stelling
Er zijn precies vier verschillende behangpatronen waarvan de symmetriegroep voortgebracht wordt door spiegelingen met een begrensd fundamentaalgebied.
Opdracht 2
Maak zelf een "Escher" door in de onderstaande tekening een fundamentaalgebied te vullen en daarna dit gebied rond te spiegelen.
Het vullen van het fundamentaal gebied kun je het gemakkelijkste doen met behulp van één of meerdere veelhoeken. Vul eerst het gebied met de veelhoeken, maak dan de hoekpunten van de veelhoeken onzichtbaar en ga tot slot spiegelen.
Maak je eigen Escher! (Click op het plaatje)
Hieronder zie je een voorbeeld.
Een "Escher". Verschuif de gele punten om nieuwe tekeningen te maken.
Regelmatige vlakvullingen
De resultaten die je zojuist hebt gevonden, kun je gebruiken om alle regelmatige vlakvullingen te vinden.
Een regelmatige vlakvulling is een opvulling van het vlak met allemaal dezelfde regelmatige $k$-hoeken.
In zo'n vlakvulling met regelmatige $k$-hoeken is de spiegeling in een zijde van zo'n $k$-hoek een symmetrie. Aan de ene kant van de zijde ligt een $k$-hoek, en aan de andere kant van de zijde moet er precies dezelfde liggen.
Elk van de $k$-hoeken is opgebouwd uit een aantal begrensde fundamentaalgebiedjes. Deze fundamentaal gebieden zijn driehoeken met hoeken $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{4}$, en $\frac{\pi}{2}$, driehoeken met hoeken $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{3}$, en $\frac{\pi}{3}$ of driehoeken met hoeken $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{3}$, en $\frac{\pi}{2}$.
In het eerste geval kunnen de $k$-hoeken alleen maar vierkanten zijn. In het tweede en derde geval vind je voor de $k$-hoeken ofwel $3$-hoeken ofwel $6$-hoeken. Je vindt dus precies drie verschillende regelmatige vlakvullingen.
Opdracht 3
Gebruik de bovenstaande tekeningen van fundamentaalgebieden, om een vlakvulling te maken met regelmatige zeshoeken, waarin twee zeshoeken die een zijde gemeen hebben van kleur verschillen.