TEST

Symmetrieën van het vlak

In de tekeningen van Escher zit vaak veel symmetrie verborgen. Dezelfde symmetrie zie je terug in een honingraat of in een behangpatroon. In deze sectie zullen we onderzoeken welke verschillende symmetrieën van het vlak je kunt onderscheiden.

Een symmetrie $\sigma$ van het vlak $\mathbb{R}^2$ is een afbeelding van het vlak naar zichzelf (ook wel transformatie genoemd) die afstanden bewaart.

Als $\sigma$ en $\tau$ twee symmetrieën zijn, dan kun je ze na elkaar uit voeren. Dit levert weer een symmetrie. Dit noteer je als $\sigma\circ\tau$ of ook wel als $\sigma\tau$ en spreek je uit als "$\sigma$ na $\tau$".

Er geldt $$\sigma\tau(B)=\sigma(\tau(B)).$$ Dit ken je natuurlijk al voor functies.

Je kunt drie soorten symmetrieën van het vlak onderscheiden:

  • Translaties of verschuivingen; je verschuift alle punten in het vlak over een vaste vector.
  • Draaiingen; je draait rond een punt.
  • Schuifspiegelingen; dit is een spiegeling in een lijn gevolgd door een verschuiving parallel aan de lijn.

   
   

Drie verschillende symmetrieën.

Er zijn geen andere symmetrieën van het vlak. De volgende stelling drukt dit feit formeel uit.

Stelling.

Elke symmetrie van het vlak is een translatie, draaiing of schuifspiegeling.

Als je de onderstaande opdrachten hebt gedaan, dan heb je bewezen dat elke symmetrie van het vlak één van deze drie symmetrieën is.

Opdracht 1

In deze opgave beschrijven we enkele draaiingen in termen van coördinaten.
  1. Laat aan de hand van een schets zien dat de transformatie $R: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ gegeven door $R(x,y) = (-y,x)$ een draaiing om de oorsprong over $90^{\circ}$ (tegen de wijzers van de klok in) voorstelt.
  2. Geef het transformatievoorschrift voor een draaiing om het punt $(1,1)$ over $90^{\circ}$. [Hint: gebruik hierbij de translatie die $(1,1)$ in $(0,0)$ overvoert.]

Opdracht 2

In deze opgave beschrijven we de spiegeling in de lijn $\ell : x+2y=0$.
  1. Om het beeldpunt van het punt $(4,6)$ te bepalen kun je de lijn door $(4,6)$ en met richtingsvector $(1,2)$ gebruiken. Leg uit hoe en bepaal het beeldpunt.
  2. Bepaal het beeld onder spiegeling van een willekeurig punt $(u,v)$. Laat zien dat spiegeling in $\ell$ beschreven wordt door de transformatie \[ S(u,v) = (\frac{3}{5} u - \frac{4}{5}v, -\frac{4}{5}u - \frac{3}{5}v). \]

Opdracht 3

Als je twee spiegelingen samenstelt, krijg je geen spiegeling.
  1. Veronderstel dat de spiegelassen parallel zijn. Neem voor het gemak aan dat een van de assen de $x$-as is, en de andere as de lijn $y=c$. Laat door berekening zien dat de samenstelling in dit geval een translatie is.
  2. Veronderstel dat de ene spiegelas de $x$-as is en de andere as de lijn door de oorsprong met richtingsvector $(\cos \alpha , \sin \alpha )$. Laat door berekening zien dat de samenstelling de transformatie $R$ is met voorschrift \[ R(x,y) = (x\cos 2\alpha - y \sin 2\alpha , x\sin 2\alpha + y\cos 2\alpha ). \] Bij deze (redelijk forse) berekening heb je de verdubbelingsformules uit de goniometrie nodig. Zie je in dat het om een draaiing gaat?

Opdracht 4

Als $\sigma$ een symmetrie van het vlak is, die twee punten $A$ en $B$ vasthoudt, dan houdt $\sigma$ alle punten van het vlak vast, of is het een spiegeling in de lijn door de $A$ en $B$. Bewijs dit met behulp van de volgende stappen:
  1. Als $C$ een punt op de lijn door $A$ en $B$ is, dan is $C$ het unieke punt op afstand $|AC|$ van $A$ en $|BC|$ van $B$. Het punt $C$ wordt dus door $\sigma$ vast gehouden.
  2. Als $D$ een punt is, dat niet op op de lijn $\ell$ door $A$ en $B$ ligt, dan is er maar één ander punt in het vlak dat net zo ver van $\ell$, $A$ en $B$ ligt als $D$, namelijk het spiegelbeeld $D'$ van $D$ in de lijn $\ell$. Er geldt dus $\sigma(D)=D$ of $\sigma(D)=D'$. In het eerste geval houdt $\sigma$ alle punten vast, in tweede geval is het de spiegeling in $\ell$.

Opdracht 5

Als $\sigma$ een symmetrie van het vlak is, die precies één punt, zeg $A$ vasthoudt, dan is $\sigma$ een draaiing. Bewijs dit met behulp van de volgende stappen.
  1. Zij $B\neq A$ een punt. Dan liggen $B$ en $\sigma(B)$ op een cirkel rond $A$. Zij $\tau$ de draaiing over een hoek $\alpha$ rond $A$ die $\sigma(B)$ op $B$ afbeeldt. Laat zien dat de afbeelding $\tau\sigma$ de punten $A$ en $B$ vast laat.
  2. Concludeer uit Opdracht 1 dat $\tau\sigma$ alle punten vasthoudt of een spiegeling in de lijn $AB$ is.
  3. Als $\tau\sigma$ alle punten van het vlak vasthoudt, dan is $\sigma$ de draaiing over de hoek $-\alpha$ rond $A$ die $B$ op $\sigma(B)$ afbeeldt.
  4. Als $\tau\sigma$ een spiegeling in de lijn $AB$ is, dan kies voor $C$ het punt dat verkregen wordt door $B$ over een hoek $\frac{-\alpha}{2}$ rond $A$ te draaien. Laat zien dat $\tau\sigma(C)=\tau(C)$ en concludeer daaruit dat $\sigma(C)=C$. Dit is in tegenspraak met de aanname dat $ \sigma$ precies één punt vast laat.

Opdracht 6

Stel $\sigma$ is een draaiing in het vlak rond het punt $A$ over een hoek $\alpha$. Stel $\tau_v$ is een verschuiving over de vector $v$ is. Dan laat de symmetrie $\tau_v\sigma$ een punt uit het vlak vast.

Ga na dat het punt als volgt te vinden is. Teken de lijn $\ell$ vanuit $A$ loodrecht op de richting van $v$. Nu teken de de lijn $m$ door $A$ die een hoek $\frac{-\alpha}{2}$ met $\ell$ maakt. Kies op $m$ het punt $B$, zo, dat de afstand tot $\ell$ de helft is van de lengte van $v$.

Ga na dat $\tau_v\sigma(B)=B.$

Versleep $B$, zo dat het rode punt met $B$ samenvalt.

Opdracht 7

Als $\sigma$ een spiegeling is in een lijn $\ell$ en $\tau$ een verschuiving over een vector $v$, dan is $\tau\sigma$ een schuifspiegeling in de lijn $m$ parallel aan $\ell$, maar verschoven over $\frac{1}{2}v$. Construeer in onderstaand plaatje de lijn $m$ en spiegel daarin de figuur $F$ te spiegelen. Overtuig je dat de gespiegelde figuur parallel aan $m$ verschoven moet worden om op figuur $G$, het beeld van $F$ onder $\tau\sigma$, afgebeeld te worden.

$\tau\sigma$ een schuifspiegeling in de lijn $m$ parallel aan $\ell$.

Opdracht 8

Als $\sigma$ een symmetrie van het vlak is, die het punt $A$ afbeeldt op het punt $B$ en $\tau$ is de verschuiving die $B$ op $A$ afbeeldt, dan is $\tau\sigma$ een afbeelding die $A$ vasthoudt. Bewijs dit en concludeer dat $\tau\sigma$ een draaiing of spiegeling is, en dat $\sigma$ een translatie, schuifspiegeling of draaiing is.

Als $\sigma$ een symmetrie van het vlak is, geldt voor elk tweetal punten $A\neq B$ dat $\sigma(A)\neq \sigma(B)$. Dit houdt in dat bij elke symmetrie $\sigma$ ook een inverse symmetrie $\sigma^{-1}$ hoort waarvoor geldt $\sigma^{-1}\sigma(A)=A$ voor alle punten $A$.

Voor de drie soorten symmetrieën van het vlak geldt:

  • De inverse van een verschuiving over een vector $v$ is de verschuiving over $-v$.
  • De inverse van een draaiing over een hoek $\alpha$ is de draaiing over een hoek $-\alpha$.
  • Een schuifspiegelingen bestaat uit een spiegeling in een lijn gevolgd door een verschuiving over een vector $v$ parallel aan de lijn. De inverse is dan eerst spiegelen en vervolgens verschuiven over $-v$.