TEST

Rekenen met permutaties

Inverse

Elke symmetrie kunnen we ook ongedaan maken:

draaien over $+90^{\circ}$ maken we ongedaan door een draaiing over $-90^{\circ}$.
Je spreekt van de inverse.

  • Rotatie over $+90^{\circ}$ in permutatietaal: $(1234)$ (en ook $=(2341)=(3412)=(4123)$)
  • Rotatie over $-90^{\circ}$ in permutatietaal: $(4321)$. We schrijven: \[ (1234)^{-1} = (4321). \]

De spiegeling $(13)$ maken we ongedaan door dezelfde spiegeling: $(13)$, dus \[ (13)^{-1} = (13). \]

Opmerking: geven we $(1234)$ met $R$ aan, dan de inverse met $R^{-1}$.

Samenstellen

Twee symmetrieën kun je ook achter elkaar uitvoeren (samenstellen als bij functies).

  • Rotatie $(1234)$ gevolgd door spiegeling $(13)$
    • Dit bereken je als het product $(13)(1234)$, te lezen van rechts naar links.
    • De rechterpermutatie stuurt $1$ naar $2$, de linkerpermutatie laat $2$ vast. Dus $1\mapsto 2$. Net zo: $2\mapsto 1$. Net zo $3 \longrightarrow 4$, $4\mapsto 3$. Samen: \[ (13)(1234) = (12)(34). \]
  • Zo kun je permutaties (of het nu symmetrieën zijn of niet) samenstellen: \[ (12)(23) = (123). \]
  • De herhaalde rotatie $(1234)^2$, d.w.z. $(1234)(1234)$: \[ (13)(24). \]

Om te rekenen met permutaties kun je gebruik maken van de `Permutation Calculator'.