Randversieringen en behangpatronen
In de onderstaande meetkundige figuren kun je een heleboel symmetrie ontdekken. In tegenstelling tot de rozet, is er in deze figuren geen punt te vinden dat vast is onder alle symmetrieën. In de symmetriegroep van deze figuren vind je wel translaties. Echter de translaties zijn alleen maar in één richting. We spreken dan van een randversiering.
 |
 |
 |
De randversieringen in de plaatjes zijn discreet. Dat wil zeggen, het zijn randversieringen, waarbij voor elke symmetrie $\sigma$ en elk punt $A$ geldt dat $\sigma(A)$ niet willekeurig dicht bij $A$ kan liggen.
Discrete randversieringen kun je op precies zeven manieren maken. (Dit is een stelling die niet zo makkelijk te bewijzen is. Een bewijs laten we dan ook achterwege.)
In onderstaand plaatje zie je de zeven manieren staan. Je kunt de verschillende randversieringen onderscheiden door de verschillende symmetrieën die ze hebben. Zo heeft de eerste randversiering alleen verschuivingen in de symmetriegroep. De symmetriegroep van de tweede randversiering bevat een schuifspiegeling en de derde een echte spiegeling.
Opdracht 1
Ga voor elk van de drie randversieringen die je bovenaan de pagina vindt na, onder welk van de zeven categorieën ze horen.
De zeven randversieringen.
Behangpatronen
Laat je nog meer symmetrie toe, bijvoorbeeld verschuivingen in meerdere richtingen, dan vind je de zogenaamde behangpatronen zoals je in de onderstaande plaatjes ziet.
 |
 |
 |
Ook de discrete behangpatronen zijn, aan de hand van de verschillende symmetriegroepen, onderverdeeld in klassen. Deze klassen zijn in 1891 door de Russische wiskundige Fedorov bepaald. Er blijken precies 17 verschillende behangpatronen te bestaan.
Wil je alle verschillende behangpatronen zien, dan kijk eens op deze Wikipedia-pagina.
Opdracht 2
Teken de spiegelassen in de volgende plaatje, en geef twee translaties in verschillende richtingen aan. Hebben de twee behangpatronen dezelfde symmetrie?
Spiegelingen in een behangpatroon. (Click om te openen.)