TEST

Wiskundige machinerie: permutaties

Je kunt symmetrieën van een figuur vaak beschrijven door te vertellen wat er met de hoekpunten (of andere speciale punten) gebeurt. Geef je die een nummer dan kun je een symmetrie beschrijven door te noteren hoe de hoekpunten verwisseld zijn. Je noemt deze beschrijving een permutatie.

De symmetrieën van het vierkant kun je als volgt beschrijven:

  • Rotatie over $+90^{\circ}$: $(1234)$. Dit betekent: $1\mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto 4 \mapsto 1$. We mogen ook schrijven: $(2341)$ of $(3412)$ of $(4123)$ in plaats van $(1234)$.
  • Spiegeling in horizontale as: $(14)(23)$. Dit betekent: $1\mapsto 4 \mapsto 1 \hbox{ en } 2\mapsto 3 \mapsto 2$
  • Spiegeling in een diagonaal: $(13)$, d.w.z.\ \[ 1\mapsto 3 \mapsto 1 \] De hoekpunten $2$ en $4$ blijven beide op hun plaats.
  • Spiegelen in verticale as: $(12)(34)$.

Soms is het handig zo'n permutatie met een letter aan te geven: bijv $R$.

Permutaties

Voer eerst de rotatie $(1234)$ uit en dan de spiegeling in de horizontale as $(14)(23)$. Je noteert dit als \[ (14)(23)(1234) \] en leest van rechts naar links:

  • de eerste symmetrie stuurt $1$ naar $2$, de tweede symmetrie voert deze over in $3$, dus $1\mapsto 3$: \[ 1 \mapsto 3 \]
  • Wat gebeurt met $3$? De 1e symmetrie stuurt $3$ naar $4$, de tweede stuurt $4$ naar $1$. Dus $3\mapsto 1$:
  • Wat gebeurt met $2$? De symmetrie $(1234)$ stuurt $2$ naar $3$ en de symmetrie $(14)(23)$ stuurt $3$ naar $2$. Dus $2$ blijft vast. Net zo blijft $4$ vast.

Je vindt \[ (14)(23)(1234)=(13), \] de spiegeling in de as door $1$ en $3$.

Je kunt nu de volgende vragen stellen:

  • Hoeveel symmetrieën van een object zoals het vierkant zijn er?
  • Zijn er permutaties die geen symmetrie van je object voorstellen?
  • Is $(12)$ een symmetrie van het vierkant?
  • Nee: $1$ zit `vast' aan $4$ en $2$. Verwissel je $1$ en $2$, dan verlies je deze `nabuurschap'. Dus niet alles kan: de `verbondenheid' van hoekpunten is o.a. van belang.
  • Zijn er `basissymmetrieën' waaruit je alle symmetrieën van een object kunt opbouwen? Kun je bijvoorbeeld bij een vierkant alle symmetrieën maken als combinaties van de spiegeling $(13)$ en de rotatie $(1234)$?

Eerst ga je maar eens nader de `rekenstructuur' van permutaties bekijken.

Wil je zelf eens kijken welke permutaties een symmetrie van het vierkant zijn, dan teken zelf het vierkant en probeer verschillende permutaties.